Бусинка на нити

Бусинка на гибкой нити в равновесии подвержена с двух сторон силам натяжения одной и той же нити. Сравните силы кулоновского отталкивания от \(A\) и от \(B\). Сумма расстояний от бусинки до \(A\) и до \(B\) равна длине нити.

Пусть нить натянута с силой \(T\). На бусинку действуют две силы отталкивания от зарядов \(Q_1\) и \(Q_2\) и две силы натяжения нити, по одной с каждой стороны. Каждая сила уравновешивается противоположной парой, поэтому равновесие возможно только при равенстве модулей пар сил: \[\frac{kQ_1}{l_1^2}=\frac{kQ_2}{l_2^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{l_1}{l_2}=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}=w,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — расстояния от бусинки до зарядов \(Q_1\) и \(Q_2\). С учётом \(l_1+l_2=2a\): \[l_1=\frac{2aw}{w+1},\qquad l_2=\frac{2a}{w+1}.\] Угол \(\alpha\) при заряде \(Q_1\) найдём по теореме косинусов для треугольника \(A\)–\(B\)–бусинка: \[\cos\alpha=\frac{a^2+l_1^2-l_2^2}{2al_1}=\frac{5w^2+2w-3}{4w(w+1)}.\] Высота бусинки над прямой \(AB\) равна \(H=l_1\sin\alpha\), то есть \[H=\frac{2aw}{w+1}\sin\!\left(\arccos\frac{5w^2+2w-3}{4w(w+1)}\right).\]