Я надел свои очки

Сравните отношение размеров очков и смартфона на рис. 2 (реальные размеры) с отношением их размеров на портрете (угловые размеры, видимые из смартфона). Изображение смартфона в выпуклом зеркале мнимое и уменьшенное — дальше формула сферического зеркала и увеличение.

Обозначим реальный размер очков за \(X\), а реальный размер смартфона за \(Y\). Пусть также \(\alpha\) — угловой размер изображения очков на портретной фотографии, а \(\beta\) — угловой размер изображения смартфона на ней. Измерим отношение размеров изображений очков и смартфона на двух фотографиях. \[\frac{X}{Y} = (1{,}1 \pm 0{,}1); \quad \frac{\alpha}{\beta} = (12 \pm 1);\] На левой фотографии отношение размеров изображений соответствует отношению реальных размеров, а на правой отношению угловых размеров изображений.

Сделаем простейший чертеж расположения изображения смартфона и очков на правой фотографии. Обозначим размер изображения смартфона за \(y\), расстояние между изображением смартфона и очками за \(l\). Угловые размеры изображения смартфона и очков на правой фотографии в приближении малых углов даются формулами: \[\alpha = \frac{X}{L}; \quad \beta = \frac{y}{L + l}. \tag{1}\]

Положение изображения определяется формулой сферического зеркала: \[\frac1L - \frac1l = -\frac2R, \tag{2}\] где \(R\) — радиус кривизны зеркала. Размер изображения смартфона связан с его реальным размером через увеличение зеркала: \[y = Y\frac{l}{L}. \tag{3}\] Объединяя уравнения получим: \[R = \frac{2L}{\frac{\alpha}{\beta}\frac{Y}{X} - 2}. \tag{4}\] Рассчитаем с учетом погрешности измерений минимально возможное значение радиуса кривизны и максимально возможное:

\[R_{\min} = \frac{2\cdot50\text{ см}}{\frac{13}{1} - 2} = 9{,}09\text{ см}.\] \[R_{\max} = \frac{2\cdot50\text{ см}}{\frac{11}{1{,}2} - 2} = 12{,}24\text{ см}.\] Тогда окончательное значение радиуса кривизны с учетом погрешностей измерений: \[R = (10{,}7 \pm 1{,}6)\text{ см}.\]