Упругие удары шарика

Рассмотрим второй, вспомогательный шарик, который начинает двигаться с той же высоты, что и первый, но не падает свободно, а движется равномерно таким образом, что он одновременно с первым шариком ударяется о плоскость и одновременно с ним достигает максимальной высоты.

Пусть к моменту времени \(t\) первый шарик прошёл путь \(S\), а второй шарик прошёл путь \(S_2\). Тогда число ударов второго шарика может быть найдено при помощи формулы: \(N = \left[\dfrac{t + T}{2T}\right]\), где \(T\) — время, в течение которого шарики проходят от верхней до нижней точки траектории, а квадратными скобками обозначена операция выделения целой части числа. С учётом того, что \(S_2 = \dfrac{gT}{2}t\), где \(\dfrac{gT}{2}\) — скорость равномерного движения вспомогательного шарика, получаем: \(N = \left[\dfrac{gt^2 + 2S_2}{4S_2}\right]\).

Поскольку к моменту, когда первый шарик пройдёт путь \(S\), количество его ударов о плоскость будет равно количеству ударов к тому моменту, когда второй шарик пройдёт путь \(S_2\), то в последней формуле можно заменить \(S_2\) на \(S\). В итоге получим: \[N = \left[\dfrac{gt^2 + 2S}{4S}\right] = \left[\dfrac{gt^2}{4S} + \dfrac{1}{2}\right].\]