КПД цикла из изохор и изобар

Введём ряд вспомогательных обозначений для объёма, давления и температуры газа (см. рисунок).

По определению, КПД цикла есть отношение полезной работы \(A\), совершаемой рабочим телом, к количеству теплоты \(Q\), отобранному рабочим телом от нагревателя. Совершённая газом работа численно равна площади цикла: \[A = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1) = p_2V_2 - p_2V_1 - p_1V_2 + p_1V_1 = p_1V_1\left(\dfrac{p_2}{p_1}\dfrac{V_2}{V_1} - \dfrac{p_2}{p_1} - \dfrac{V_2}{V_1} + 1\right).\] Из первого начала термодинамики следует, что в нашем случае газ поглощал тепло на левой изохоре и верхней изобаре. В изохорическом процессе газ не совершал работы, и всё поглощённое им тепло \(Q_1\) шло на увеличение внутренней энергии газа, которую можно выразить через введённые вспомогательные значения давлений и объёмов, воспользовавшись уравнением Менделеева — Клапейрона: \[Q_1 = \dfrac{3}{2}\nu R(T_4 - T_3) = \dfrac{3}{2}(p_2 - p_1)V_1.\] В изобарическом процессе часть полученного газом тепла уходила на увеличение внутренней энергии газа, а за счёт остатка совершалась работа: \[Q_2 = \dfrac{3}{2}\nu R(T_5 - T_4) + p_2(V_2 - V_1) = \dfrac{5}{2}p_2(V_2 - V_1).\] Таким образом, полное количество теплоты, полученное газом от нагревателя, равно \[Q = Q_1 + Q_2 = \dfrac{3}{2}(p_2 - p_1)V_1 + \dfrac{5}{2}p_2(V_2 - V_1) = \dfrac{3}{2}p_1V_1\left(\dfrac{p_2}{p_1} - 1\right) + \dfrac{5}{2}p_2V_1\left(\dfrac{V_2}{V_1} - 1\right).\] Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа в состояниях, соответствующих серединам изохор и изобар: \[\dfrac{p_1 + p_2}{2}V_1 = \nu RT_1,\quad \dfrac{p_1 + p_2}{2}V_2 = \nu RT_2,\quad p_1\dfrac{V_1 + V_2}{2} = \nu RT_1,\quad p_2\dfrac{V_1 + V_2}{2} = \nu RT_2.\] Деля друг на друга уравнения, записанные в каждой из строк, получим: \[\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{T_2}{T_1},\quad \dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{T_2}{T_1}.\] Используя эти соотношения, найдём КПД цикла: \[\eta = \dfrac{A}{Q} = \dfrac{p_1V_1\left(\dfrac{p_2}{p_1}\dfrac{V_2}{V_1} - \dfrac{p_2}{p_1} - \dfrac{V_2}{V_1} + 1\right)}{\dfrac{3}{2}p_1V_1\left(\dfrac{p_2}{p_1} - 1\right) + \dfrac{5}{2}p_2V_1\left(\dfrac{V_2}{V_1} - 1\right)} = \dfrac{\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2 - 2\dfrac{T_2}{T_1} + 1}{\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{T_2}{T_1} - 1\right) + \dfrac{5}{2}\dfrac{T_2}{T_1}\left(\dfrac{T_2}{T_1} - 1\right)} = \dfrac{\dfrac{T_2}{T_1} - 1}{\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2}\dfrac{T_2}{T_1}} = \dfrac{2(T_2 - T_1)}{3T_1 + 5T_2}.\]