Ток через резистор 1000R

Сопротивление резисторов \(1000R\) и \(2000R\) намного превышает сопротивление остальных резисторов. Поэтому в первом приближении токами, текущими через резисторы \(1000R\) и \(2000R\), можно пренебречь по сравнению с другими токами в цепи, то есть считать, что резисторов \(1000R\) и \(2000R\) в схеме просто нет. Тогда исходная схема сведётся к более простой (см. рис. 1).

Обозначим через \(I_1\) ток, текущий в упрощённой схеме через резисторы \(R\), \(3R\) и \(5R\), а через \(I_2\) — ток, текущий через резисторы \(2R\), \(4R\) и \(6R\). Тогда \[I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R + 3R + 5R} = \dfrac{\mathcal{E}}{9R};\quad I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{2R + 4R + 6R} = \dfrac{\mathcal{E}}{12R}.\] Для напряжения между точками схемы 1 и 2, а также между точками 1 и 3 (см. рис. 1) имеем: \[U_{12} = RI_1 = \mathcal{E}/9;\quad U_{13} = 2RI_2 = \mathcal{E}/6.\] Значит, напряжение между точками схемы 2 и 3 равно \[U_{23} = U_{13} - U_{12} = \mathcal{E}/18.\] Из-за малости токов, текущих через резисторы \(1000R\) и \(2000R\), напряжение между точками 2 и 3 в упрощённой схеме практически совпадает с напряжением между этими же точками в исходной схеме. Значит, в качестве оценки для величины тока, текущего через резистор \(1000R\), можно взять величину \[I_{1000R} = \dfrac{U_{23}}{1000R} = \dfrac{\mathcal{E}}{18000R}.\] Величину погрешности нашего результата можно оценить следующим образом. Обозначим токи, текущие в исходной схеме через резисторы \(R\), \(2R\), \(1000R\) и \(2000R\) через \(\tilde I_1\), \(\tilde I_2\), \(I_a\) и \(I_b\) соответственно (см. рис. 2).

Тогда, в соответствии с законом Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, имеем: \[\tilde I_1R_1 + (\tilde I_1 + I_a)R_2 + (\tilde I_1 + I_a + I_b)R_3 = \mathcal{E},\] где \(R_1 = R\), \(R_2 = 3R\), \(R_3 = 5R\). Отсюда \[\tilde I_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + R_3} - \dfrac{I_a(R_2 + R_3) + I_bR_3}{R_1 + R_2 + R_3} = I_1 - \dfrac{I_a(R_2 + R_3) + I_bR_3}{R_1 + R_2 + R_3}.\] Аналогично, \[\tilde I_2R_4 + (\tilde I_2 - I_a)R_5 + (\tilde I_2 - I_a - I_b)R_6 = \mathcal{E},\] где \(R_4 = 2R\), \(R_5 = 4R\), \(R_6 = 6R\). Отсюда \[\tilde I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_4 + R_5 + R_6} + \dfrac{I_a(R_5 + R_6) + I_bR_6}{R_4 + R_5 + R_6} = I_2 + \dfrac{I_a(R_5 + R_6) + I_bR_6}{R_4 + R_5 + R_6}.\] Таким образом, токи, рассчитанные приближённым способом, отличаются по абсолютной величине от токов, рассчитанных точно, на величины \[\Delta I_1 = |I_1 - \tilde I_1| \leqslant |I_a|\dfrac{R_2 + R_3}{R_1 + R_2 + R_3} + |I_b|\dfrac{R_3}{R_1 + R_2 + R_3} < |I_a| + |I_b|,\] \[\Delta I_2 = |I_2 - \tilde I_2| \leqslant |I_a|\dfrac{R_5 + R_6}{R_4 + R_5 + R_6} + |I_b|\dfrac{R_6}{R_4 + R_5 + R_6} < |I_a| + |I_b|,\] то есть абсолютная погрешность каждого из токов \(I_1\) и \(I_2\) не превосходит сумму абсолютных величин токов \(|I_a| + |I_b|\). Учитывая, что ток \(I_b\) приближённо равен \[I_b = \dfrac{5RI_1 - 6RI_2}{2000R} = \dfrac{(5\mathcal{E}/9) - (\mathcal{E}/2)}{2000R} = \dfrac{\mathcal{E}}{36000R},\] а ток \(I_a = I_{1000R}\) был оценён нами ранее, получим оценку для абсолютных погрешностей токов \(I_1\) и \(I_2\): \[\Delta I_{1,2} < \dfrac{\mathcal{E}}{18000R} + \dfrac{\mathcal{E}}{36000R} = \dfrac{\mathcal{E}}{12000R}.\] Значит, абсолютная погрешность напряжения \(U_{23}\) не превышает \[\Delta U_{23} < R\Delta I_1 + 2R\Delta I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{4000R}.\] Так как сила тока, текущего через резистор \(1000R\), пропорциональна \(U_{23}\), то относительные погрешности определения этого тока и напряжения \(U_{23}\) одинаковы и составляют \[\dfrac{\Delta I_{1000R}}{I_{1000R}} = \dfrac{\Delta U_{23}}{U_{23}} = \dfrac{18}{4000} = 0{,}045 = 0{,}45\%,\] что удовлетворяет условию задачи.

В заключение отметим, что данную задачу можно решить точно. В этом случае после проведения всех необходимых вычислений получается ответ \(I_{1000R} = \dfrac{\mathcal{E}}{18055R}\), от которого наша оценка отличается примерно на \(0{,}3\%\).