Воздушный змей

Разложим движение мальчика со змеем на два более простых движения и рассмотрим их по отдельности. Сначала представим себе, что мальчик покоится, а змей движется (нить при этом сматывается с катушки). Так как нить прямолинейна, то проекции скоростей всех точек нити на её направление одинаковы. Значит, составляющая скорости узелка вдоль нити равна \(V_{\parallel} = v\sin\alpha\).

Так как мальчик покоится, то в данный момент времени можно считать, что движение нити складывается из двух движений — движения вдоль самой себя со скоростью \(V_{\parallel}\) и вращения вокруг катушки с угловой скоростью \(\omega_1 = \dfrac{v\cos\alpha}{L + l}\). Тогда составляющая скорости узелка в направлении, перпендикулярном нити, равна \(V_{\perp 1} = \omega_1L = \dfrac{vL\cos\alpha}{L + l}\).

Далее представим себе, что покоится змей, а мальчик движется. В этом случае в данный момент времени нить вращается по окружности вокруг точки крепления к змею с угловой скоростью \(\omega_2 = \dfrac{u\sin\alpha}{L + l}\). Значит, узелок имеет скорость, перпендикулярную нити и равную \(V_{\perp 2} = \omega_2l = \dfrac{ul\sin\alpha}{L + l}\), составляющая же скорости узелка вдоль направления нити равна нулю.

Так как движение мальчика и змея представляет собой сумму двух рассмотренных простых движений, то скорость узелка можно найти, пользуясь правилом сложения скоростей: \[v_{\text{узелка}} = \sqrt{V_{\parallel}^2 + (V_{\perp 1} + V_{\perp 2})^2} = \sqrt{v^2\sin^2\alpha + \left(\dfrac{vL\cos\alpha + ul\sin\alpha}{L + l}\right)^2}.\]