Совсем как огуречик

Выгоднее всего раскрыть крылья в той точке параболы, где скорость направлена вниз под углом \(30^{\circ}\) к горизонту. Остаётся выбрать угол прыжка.

В задаче два параметра, изменяя которые нужно максимизировать дальность полёта: угол прыжка \(\alpha\) и момент раскрытия крыльев. Наибольшее расстояние кузнечик пролетит, если начнёт планировать по касательной к параболе, то есть когда будет лететь вниз под углом \(30^{\circ}\) к горизонту. Обозначим скорость прыжка \(v\), время до раскрытия крыльев \(t\). Условие \[\frac{v_y(t)}{v_x(t)} = \frac{v\sin\alpha - gt}{v\cos\alpha} = -\operatorname{tg}30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\] даёт время \[t = \frac{v}{g}\left(\sin\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2\sqrt{3}\,v}{3g}\sin(\alpha + 30^{\circ}).\] Дальность полёта складывается из расстояния по параболе \[\ell_1 = vt\cos\alpha = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g}\sin(\alpha + 30^{\circ})\cos\alpha\] и расстояния, которое кузнечик планирует под углом \(30^{\circ}\) с высоты \(y(t)\): \[\ell_2 = y(t)\,\operatorname{ctg}30^{\circ} = \left(vt\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}\right)\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g}\left(\sqrt{3}\sin\alpha - \sin(\alpha + 30^{\circ})\right)\sin(\alpha + 30^{\circ}).\] Сумма \[\ell = \ell_1 + \ell_2 = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g}\,\sin^2(\alpha + 30^{\circ}).\] Наибольшее значение достигается при \(\alpha = 60^{\circ}\) и равно \[\ell_{\max} = \frac{2\sqrt{3}\,v^2}{3g} = \frac{2\sqrt{3}\cdot(5\,\text{м/с})^2}{3\cdot 10\,\text{м/с}^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\,\text{м} \approx 2{,}89\,\text{м}.\]