Кабестан

Чтобы выполнить работу за наименьшее время, установка должна развивать наибольшую мощность. Рабочие на разных расстояниях от центра движутся с разными скоростями; как связаны эти скорости?

Чтобы выполнить фиксированную работу за наименьшее время, установка должна развить максимальную мощность, равную сумме мощностей рабочих. Ясно, что как бы ни была нагружена платформа, рабочие должны поднимать её с максимальной скоростью, с которой могут. Изменяя вес порции кирпичей, мы одновременно меняем и эту скорость подъёма. Поймём, как мощность установки связана со скоростью её вращения.

Пусть ближний к центру рабочий движется по окружности радиуса \(a\) со скоростью \(v\). Тогда средний и дальний от центра рабочие движутся по окружностям радиусов \(2a\) и \(3a\) со скоростями \(2v\) и \(3v\). Максимальные мощности, которые они могут развить при таких скоростях, равны \[v F_0\left(1 - \frac{v}{v_0}\right), \qquad 2vF_0\left(1 - \frac{2v}{v_0}\right), \qquad 3vF_0\left(1 - \frac{3v}{v_0}\right).\] Полная мощность четырёх троек рабочих равна \[P = 4\left(vF_0\left(1 - \frac{v}{v_0}\right) + 2vF_0\left(1 - \frac{2v}{v_0}\right) + 3vF_0\left(1 - \frac{3v}{v_0}\right)\right) = 4v_0F_0\,\alpha\,(6 - 14\alpha),\] где \(\alpha = v/v_0\). Квадратичное выражение \(\alpha(6 - 14\alpha)\) принимает наибольшее значение посередине между корнями, то есть при \(\alpha = 3/14\); само значение равно \(9/14\). Таким образом, \[P_{\max} = 4\cdot\frac{9}{14}\,v_0F_0 = \frac{18}{7}\,v_0F_0,\] а минимальное время выполнения работы \(A\) \[t_{\min} = \frac{A}{\dfrac{18}{7}\,v_0F_0} = \frac{7A}{18\,v_0F_0}.\]