Отопление отеля Гильберта

Тепловой поток между комнатами пропорционален разности температур — это закон Ома для цепи из одинаковых сопротивлений. Остаётся найти эквивалентное сопротивление бесконечной цепи.

Нарисуем стрелками, как передаётся тепло в этом длинном доме. В комнату 1 тепло поступает из печки, то есть «извне», а не из соседних комнат. Аналогично из комнаты 2 оно уходит наружу. Между остальными комнатами теплообмен устроен, как показано на рисунке, причём сумма втекающего тепла равна сумме вытекающего.

Мощность теплопередачи между комнатами \(i\) и \(j\) пропорциональна разности температур: \[P = \alpha\,(T_j - T_i),\] где коэффициент \(\alpha\) одинаков для всех внутренних стен. Линейность закона и закон сохранения тепла наталкивают на аналогию с электрическим током: температура — это потенциал \(\varphi\), мощность — ток, а \(\alpha\) — проводимость \(1/R\). Тогда нужно найти потенциал \(\varphi_3\) в полубесконечной цепи из одинаковых сопротивлений \(R\). Это можно сделать заменой цепи на эквивалентное сопротивление \(r\) и выделением такой же цепи внутри исходной.

Ввиду бесконечности схемы сопротивления всех трёх схем на рисунке равны: \[r = \frac{R(2R + r)}{R + 2R + r} \quad\Rightarrow\quad r = (\sqrt{3} - 1)R.\] Из равенства токов \[\frac{\varphi_3 - \varphi_1}{R} = \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{R + r} \quad\Rightarrow\quad \varphi_3 - \varphi_1 = \frac{\varphi_2 - \varphi_3}{\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad \varphi_3 = \frac{\sqrt{3}\,\varphi_1 + \varphi_2}{\sqrt{3} + 1}.\] Переводя обратно на язык тепла, получаем \[T_3 = \frac{\sqrt{3}\,T_1 + T_2}{\sqrt{3} + 1} \approx 22{,}7\,^{\circ}\text{C}.\]