Осколки фейерверка на площадке

Из уравнений \(l = V_0\tau\cos\alpha\) и \(h = V_0\sin\alpha\,\tau - \dfrac{g\tau^2}{2}\) найдите проекции начальной скорости. Осколки, летящие под разными углами, падают на горизонтальную площадку на круг радиуса \(\dfrac{V_0^2}{g}\).

По условию \(l = V_0\tau\cos\alpha\), \(h = V_0\sin\alpha\,\tau - \dfrac{g\tau^2}{2}\). Отсюда \(V_0\sin\alpha = \dfrac{h}{\tau} + \dfrac{g\tau}{2}\) и продолжительность полёта \[T = \frac{2V_0\sin\alpha}{g} = 2\left(\frac{h}{g\tau} + \frac{\tau}{2}\right) = 4~\text{с}.\]

Наибольшая высота полёта \(H = \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{T}{2}\right)^2 = 20\) м.

Начальная скорость \(V_0 = \sqrt{\left(\dfrac{l}{\tau}\right)^2 + \left(\dfrac{h}{\tau} + \dfrac{g\tau}{2}\right)^2} \approx 40\) м/с.

Осколки падают на круг радиуса \(\dfrac{V_0^2}{g}\), поэтому \[S = \pi\left(\frac{V_0^2}{g}\right)^2 = \frac{\pi}{g^2}\left[\left(\frac{l}{\tau}\right)^2 + \left(\frac{h}{\tau} + \frac{g\tau}{2}\right)^2\right]^2 \approx 8\cdot10^4~\text{м}^2 .\]