Задачи › Оценки, размерность и подобие

Эратосфен и полёт самолёта

  1. Эратосфен и полёт самолёта

    Физтех 2023/24, 9 кл.
    3/10

    Греческий математик, астроном Эратосфен приблизительно в 240 г до н. э. вычислил радиус Земли и длину земного экватора. Эратосфен предположил: так как Солнце находится на большом расстоянии, его лучи падают на Землю параллельно. Если Земля плоская, то одинаковые предметы в один и тот же день и час должны отбрасывать одинаковую тень вне зависимости от того, где они находятся. Но тени предметов отличались, следовательно, Земля не была плоской. В полдень в день летнего солнцестояния в Александрии Эратосфен измерил угол, на который солнечные лучи отстоят от вертикали. Этот угол составил \(1/50\) окружности (\(7^\circ 12'\) — семь градусов, 12 угловых минут). Предположив, что Земля имеет форму шара, а Александрия расположена «на одном меридиане» к северу от Сиены, где в полдень солнечные лучи отражаются от поверхности воды на дне глубоких колодцев, Эратосфен вычислил радиус Земли и длину земного экватора. Дуга Александрия — Сиена 5000 стадиев.

    Рисунок

    1. Какой результат для радиуса \(R\) Земли получил Эратосфен? Считайте, что один египетский стадий равен \(157{,}5\) м, а \(\pi = \dfrac{22}{7}\).

    В наши дни МФТИ и аэропорт Шереметьево находятся на широте \(56^\circ\) в Северном полушарии. Студенты МФТИ, специализирующиеся на исследованиях Арктики, вылетают на летающей лаборатории из Шереметьево и летят на север со скоростью \(V = 900\) км/ч.

    1. По данным задачи найдите продолжительность \(T\) полёта из Шереметьево до Северного полюса Земли. В полёте КПД двигателей самолёта составляет \(\eta = 20\%\), расход керосина \(m_1 = 2000\) кг/ч, теплотворная способность керосина \(q = 45\cdot10^6\) Дж/кг.

    2. Какую силу \(F\) тяги развивают двигатели в полёте?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Дуга \(5000\) стадиев соответствует \(7^\circ 12'\); полная окружность Земли в 50 раз больше. Полёт до полюса соответствует дуге в \(90^\circ - 56^\circ\).

    Ответ

    1) \(R \approx 6264\) км;  2) \(T \approx 4{,}1\) ч;  3) \(F = 20\) кН.

    Решение

    1) Длина дуги Александрия — Сиена \(787{,}5\) км, длина окружности в 50 раз больше: \(L = 2\pi R = 39375\) км. Отсюда \(R = 6264\) км. (Примечание: ныне Сиена — это город Асуан.)

    2) Длина дуги большого круга Шереметьево — Северный полюс \(L_1 = \dfrac{34}{360}L \approx 3720\) км. Продолжительность полёта \(T = \dfrac{L_1}{V} \approx 4{,}1\) ч.

    3) КПД: \(\eta = \dfrac{FV}{m_1 q}\), где \(m_1\) — расход в секунду. Отсюда \[F = \frac{\eta\, m_1 q}{V} = \frac{0{,}2\cdot\frac{2000}{3600}\cdot 45\cdot10^6}{250} = 2\cdot10^4~\text{Н} = 20~\text{кН}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх