Резисторы и миллиамперметр

Пусть сопротивление переменного резистора \(R = 0\). Тогда схему можно перерисовать в виде, показанном на рисунке 3.47.1. Полное сопротивление такой цепи равно \(r_1 = 2R_1R_2/(R_1 + R_2)\), а текущий через миллиамперметр ток равен \[I_1 = \dfrac{U}{r_1} = \dfrac{U(R_1 + R_2)}{2R_1R_2}.\] Если сопротивление переменного резистора, напротив, очень велико, то схему можно перерисовать так, как показано на рисунке 3.47.2. Сопротивление этой цепи равно \(r_2 = \dfrac{R_1 + R_2}{2}\), а ток, текущий через миллиамперметр, равен \[I_2 = \dfrac{U}{r_2} = \dfrac{2U}{R_1 + R_2}.\]

Исключая из полученной системы уравнений, например, величину \(R_2\), приходим к квадратному уравнению, позволяющему определить \(R_1\): \[I_1I_2R_1^2 - 2UI_1R_1 + U^2 = 0.\] Отсюда \[R_1 = \dfrac{U}{I_1I_2}\left(I_1 \pm \sqrt{I_1(I_1 - I_2)}\right),\quad\text{и}\quad R_2 = \dfrac{2U}{I_2} - R_1 = \dfrac{U}{I_1I_2}\left(I_1 \mp \sqrt{I_1(I_1 - I_2)}\right).\] Заметим, что формулы получились симметричными — выражения для \(R_1\) и \(R_2\) переходят друг в друга при замене знака перед квадратным корнем. Это связано с тем, что исходная схема включения резисторов также симметрична.

Из графика, приведённого в условии на правом рисунке, видно, что \(I_1 = 1\cdot 10^{-3}\) А, \(I_2 = 0{,}75\cdot 10^{-3}\) А. Подставляя эти значения в полученные формулы и выбирая в первой перед корнем знак «\(+\)», а во второй — знак «\(-\)», найдём: \(R_1 = 6\) кОм, \(R_2 = 2\) кОм. При противоположном выборе знаков получится \(R_1 = 2\) кОм, \(R_2 = 6\) кОм.