Проволочная дуга на гвоздях

Обозначим радиус дуги через \(R\), силы реакции, действующие на проволоку со стороны верхнего и нижнего гвоздей, через \(N\) и \(F\) соответственно, а расстояние \(OD\) от центра окружности, частью которой является дуга, до центра масс проволочной фигуры через \(h\) (см. рисунок 1.179).

Отметим, что центр масс фигуры лежит на оси её симметрии. Так как проволока гладкая, то сила \(F\) направлена к центру указанной окружности. Введём координатные оси \(X\) (горизонтальную) и \(Y\) (вертикальную) и запишем условия равновесия проволоки: \[N_x = F\sin\beta;\quad N_y + F\cos\beta = mg;\quad FR\sin\beta = mg(R - h\operatorname{ctg}\beta)\sin\beta.\] Здесь \(N_x\) и \(N_y\) — проекции силы \(N\) на координатные оси, \(\beta = \pi/3\) — угол между вертикалью и диаметром \(AC\) при наличии нижнего гвоздя. При отсутствии нижнего гвоздя, когда проволока находится в положении равновесия, её центр масс лежит на вертикальной прямой, проходящей через верхний гвоздь. Следовательно, \(h = R\operatorname{tg}\alpha_0\). Решая с учётом этого полученную систему уравнений, имеем \[F = mg\left(1 - \dfrac{\operatorname{tg}\alpha_0}{\sqrt{3}}\right),\quad N_x = \dfrac{mg\sqrt{3}}{2}\left(1 - \dfrac{\operatorname{tg}\alpha_0}{\sqrt{3}}\right),\quad N_y = \dfrac{mg}{2}\left(1 + \dfrac{\operatorname{tg}\alpha_0}{\sqrt{3}}\right).\] Искомая сила \(T\), с которой проволока давит на гвоздь, равна по величине силе \(N\) и противоположна ей по направлению. Таким образом, \[T = N = \sqrt{N_x^2 + N_y^2} = mg\sqrt{1 - \dfrac{\operatorname{tg}\alpha_0}{\sqrt{3}} + \dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha_0}{3}}.\]

Заметим, что заданный в условии задачи угол \(\alpha_0\) можно найти при помощи следующего приёма. Расположим проволочную дугу так, чтобы её концы лежали на одной вертикальной прямой, после чего повернём её на малый угол \(\Delta\varphi\) вокруг оси, проходящей перпендикулярно плоскости дуги через точку \(O\). При этом потенциальная энергия дуги, с одной стороны, увеличится на \(m\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{\pi}\cdot g\cdot 2R\), так как элемент проволоки массой \(m\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{\pi}\) поднимется на высоту \(2R\). С другой стороны, это же увеличение потенциальной энергии равно \(mg\cdot h\Delta\varphi\), так как центр масс дуги поднимется на высоту \(h\Delta\varphi\). Приравнивая эти выражения, получим, что \(h = 2R/\pi\), а \(\operatorname{tg}\alpha_0 = h/R = 2/\pi\). Поэтому полученный выше ответ задачи можно не исследовать — содержащаяся под корнем величина заведомо положительна.