Нить и два груза

Поскольку нить и блоки невесомые и трения нет, то на левый груз в горизонтальном направлении действует сила (см. рис. 1.52), равная \(3F\) и направленная слева направо, а на правый груз — сила \(2F\), направленная справа налево. Направим ось \(X\) неподвижной системы координат направо. Тогда проекция ускорения левого груза на ось \(X\) будет, очевидно, равна \(a_1 = 3F/M\), а проекция ускорения правого груза \(a_2 = -2F/M\).

Найдём, как связаны друг с другом ускорения грузов и конца нити, то есть получим уравнение кинематической связи. Для этого обозначим координату оси левого блока в некоторый момент времени \(t\) через \(x_1(t)\), координату оси правого блока — через \(x_2(t)\), а координату конца нити — через \(x(t)\). Пусть длина нити равна \(L\), радиусы блоков — \(r\), расстояние от оси левого блока до левого груза — \(x_0\). Так как нить нерастяжима, то можно выразить её постоянную длину \(L\) через введённые координаты: \[x(t) - x_1(t) + \pi r + x_2(t) - x_1(t) + \pi r + x_2(t) - x_1(t) + x_0 = L.\] Отсюда \[x(t) = 3x_1(t) - 2x_2(t) + L - 2\pi r - x_0.\] Такое же соотношение справедливо также и для момента времени \(t + \Delta t\), близкого к моменту \(t\): \[x(t + \Delta t) = 3x_1(t + \Delta t) - 2x_2(t + \Delta t) + L - 2\pi r - x_0.\] Вычитая из второго соотношения первое, найдём связь между перемещениями левого и правого грузов \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) и смещением конца нити \(\Delta x\): \(\Delta x = 3\Delta x_1 - 2\Delta x_2\). Деля полученное уравнение на величину промежутка времени \(\Delta t\), найдём связь между скоростями грузов и конца нити: \(v = 3v_1 - 2v_2\). Это соотношение также справедливо для любых двух близких моментов времени. Поэтому связь между ускорениями грузов может быть найдена аналогично и имеет вид: \(a = 3a_1 - 2a_2\). Следует отметить, что ускорение правого груза \(a_2\) направлено влево, против оси \(X\), и поэтому отрицательно.

Таким образом, из нерастяжимости нити следует, что ускорение, с которым движется конец нити, складывается из утроенной величины ускорения левого груза и удвоенной величины ускорения правого груза: \[a = 3a_1 - 2a_2 = 3\cdot\dfrac{3F}{M} - 2\cdot\left(-\dfrac{2F}{M}\right) = \dfrac{13F}{M}.\]