Поршень, нить и жидкость в трубе

Вес груза уравновешивает силу давления жидкости на поршень. Когда масса груза удвоилась, давление на поршень тоже должно удвоиться, а это возможно только при подъёме уровня жидкости в узкой части трубы. Объём жидкости при этом не меняется.

\(\rho=\dfrac{2M}{3SH}\).

Пусть \(X\) — высота слоя жидкости, налитой в трубу в начальной ситуации, т.е. объём жидкости \(V=4SX\), а масса \(4SX\rho\). В начальной ситуации вес жидкости уравновешивается весом груза: \[M=4SX\rho.\] Точнее, сила тяжести \((4SX\rho)g\) действующая на жидкость, равна по величине силе давления жидкости на поршень \((4S)(X\rho g)\). Поскольку поршень также находится в равновесии, сила, действующая на поршень со стороны жидкости, равна силе натяжения нити \(T\). Груз массой \(M\) тоже находится в равновесии, т.е. \(4SX\rho g=T=Mg\). В начальной ситуации равновесие безразличное, т.е. расстояние между уровнем жидкости и местом соединения частей может быть и другим.

После увеличения массы груза вдвое сила натяжения нити тоже должна увеличиться вдвое. Отсюда следует, что сила давления на поршень тоже должна удвоиться. Поскольку площадь поршня не меняется, это означает, что давление на поршень должно удвоиться за счёт подъёма уровня жидкости над поршнем до \(2X\).

Объём жидкости остаётся прежним: \[4SX=S\dfrac{H}{2}+4S\left(2X-\dfrac{H}{2}\right).\] Второе слагаемое в правой части возникло из условия, что полная высота столба жидкости равна \(2X\). Несмотря на сохранение массы жидкости, сила, действующая на поршень, увеличивается за счёт увеличения силы давления на жидкость со стороны горизонтальной поверхности трубы в месте соединения частей (см. «гидростатический парадокс»). Проводя преобразования, получаем \(4X=\dfrac{H}{2}+8X-2H\), и, следовательно, \(X=\dfrac{3H}{8}\).

Узнав объём жидкости, получаем плотность: \[\rho=\dfrac{M}{4SX}=\dfrac{2M}{3SH}.\] Учёт внешнего давления ответ не меняет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.