Резинка с двумя грузами

Запишите условия равновесия нижнего груза на полу в обоих состояниях и условие равновесия верхнего груза. Учтите, что при делении резинки пополам жёсткость каждой половины вдвое больше.

\(k=\dfrac{2F_2-3F_1}{H}\).

Пусть \(k\) — искомая жёсткость всей резинки (тогда \(2k\) — жёсткость её половины), масса груза \(M\) (для ответа не потребуется), \(X\) — смещение второго груза ниже середины высоты комнаты после установления нового равновесия.

На поясняющем рисунке показаны силы, действующие на нижний груз. Сила, действующая на пол со стороны груза, и сила, действующая на груз со стороны пола, равны по величине.

Условие равновесия груза на полу в первом состоянии (растяжение резинки равно \(H\)): \[Mg=F_1+kH.\] После прикрепления груза к середине резинки условия равновесия грузов:

нижний груз: \(Mg=F_2+2k\left[(H-X)-\dfrac{H}{2}\right]=F_2+2k\left(\dfrac{H}{2}-X\right)\);

верхний груз: \(Mg=2k\left[(H+X)-\dfrac{H}{2}\right]-2k\left(\dfrac{H}{2}-X\right)=4kX\).

Здесь учтено, что верхний груз делит резинку на две равные части, у которых недеформированная длина равна \(H/2\), а коэффициент жёсткости равен \(2k\).

Сравнивая первое и третье уравнения, получаем \(4kX=F_1+kH\). Из первого и второго уравнений следует \(2kX=F_2-F_1\). Отсюда \(2F_2-3F_1=kH\), т.е. \[k=\dfrac{2F_2-3F_1}{H}.\] Для справки: в условиях задачи \(Mg=2(F_2-F_1)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.