Моторная лодка и плот на реке

Плот движется со скоростью течения, поэтому между встречами он проходит путь, пропорциональный времени. Составьте равенство времён движения лодки между двумя встречами и плота между ними.

\(T_X=75\) мин.

Обозначим \(T_X\) искомое время обратной поездки, \(V\) — скорость лодки относительно воды, \(U\) — скорость течения относительно берега, \(L\) — расстояние между А и Б вдоль реки. Значения \(V\), \(U\), \(L\) по отдельности для ответа не нужны.

Из условия следует, что Б находится выше по течению, чем А: только тогда вторая встреча с плотом происходит ближе к А, чем первая. Так как скорость лодки постоянна, первая встреча произошла на расстоянии \(L\,T_2/(T_1+T_2)=L/4\) от Б. Вторая встреча произошла, когда плот проплыл расстояние \(L-\dfrac{L}{4}-\dfrac{L}{5}=\dfrac{11L}{20}\), т.е. через время \(\dfrac{11L}{20U}\).

Время движения лодки между этими встречами равно тому же: её путь от первой встречи до Б идёт против течения, от Б до второй встречи — по течению: \[\dfrac{L}{4(V-U)}+\dfrac{4L}{5(V+U)}=\dfrac{11L}{20U}.\] Приводя к общему знаменателю, получаем \([5(V+U)+16(V-U)]\,U=11(V^2-U^2)\), откуда \(21U=11V\).

Время подъёма от А до Б известно: \(\dfrac{L}{V-U}=T_1+T_2\). Скорость лодки относительно берега при движении по течению \(V+U\), а против течения \(V-U\), и \[\dfrac{V-U}{V+U}=\dfrac{21/11-1}{21/11+1}=\dfrac{10}{32}=\dfrac{5}{16}.\] Поэтому искомое время \[T_X=\dfrac{L}{V+U}=(T_1+T_2)\,\dfrac{5}{16}=\dfrac{5}{4}~\text{ч}=75~\text{мин}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.