Пицца с зарядами

Разложите поле каждого куска на вертикальную и горизонтальную составляющие и используйте симметрию расположения кусков.

Для одного куска с зарядом \(Q\) в точке наблюдения обозначим вертикальную составляющую напряжённости \(E_в\), горизонтальную — \(E_г\); у куска \(2Q\) — \(2E_в\) и \(2E_г\). Для целой пиццы вертикальные компоненты складываются в \(4E_в\), горизонтальные от кусков \(Q\) компенсируют друг друга, остаётся \(2E_г\): \[\vec E_1 = 4\vec E_в + 2\vec E_г, \qquad E_1^2 = 16E_в^2 + 4E_г^2 .\] Возможны два случая.

1) Съеден кусок \(2Q\). Остаётся вертикальная компонента \(2E_в\), горизонтальные компенсируются: \(E_2 = 2E_в\). Тогда \(E_в^2 = E_2^2/4\), \(E_г^2 = (E_1^2 - 4E_2^2)/4\), и при съедении соседнего куска \(Q\) остаётся \[E_3 = \sqrt{E_в^2 + E_г^2} = \frac{\sqrt{E_1^2 - 3E_2^2}}{2}.\]

2) Съеден кусок \(Q\). Вертикальные компоненты дают \(3E_в\), горизонтальные от кусков \(2Q\) и \(Q\) взаимно перпендикулярны и дают \(\sqrt{5}\,E_г\): \(E_2^2 = 9E_в^2 + 5E_г^2\). Из системы \(E_1^2 = 16E_в^2 + 4E_г^2\), \(E_2^2 = 9E_в^2 + 5E_г^2\) находим \(E_в^2 = \dfrac{5E_1^2}{44} - \dfrac{E_2^2}{11}\), \(E_г^2 = \dfrac{4E_2^2}{11} - \dfrac{9E_1^2}{44}\). Съедение соседнего куска \(2Q\) оставляет \[E_3 = \sqrt{E_в^2 + E_г^2} = \sqrt{\frac{3E_2^2 - E_1^2}{11}} .\]