Перемычка на рельсах с конденсатором
6/10По горизонтальным параллельным проводящим рельсам может скользить металлическая перемычка длиной \(L\), массой \(m\) с электрическим сопротивлением \(R\). На большом удалении от перемычки рельсы соединены конденсатором ёмкостью \(C\) (см. рис.). Первоначально конденсатор не заряжен. В пространстве между рельсами имеется однородное магнитное поле индукции \(B\), направленное перпендикулярно плоскости рисунка. Перемычку толкнули с начальной скоростью \(V_0\), как показано на рисунке. Найдите установившуюся скорость перемычки. Трением пренебречь. Электрическое сопротивление рельсов пренебрежимо мало, индуктивностью рельсов и провода пренебречь.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВторой закон Ньютона для перемычки и закон Кирхгофа для цепи с конденсатором: сравните выражения для \(dV\) и \(dQ\).
Ответ\(V_{\text{уст}} = \dfrac{V_0\, m}{m + B^2 L^2 C}\).
РешениеПри движении перемычки со скоростью \(V\) возникает ЭДС \(\mathcal{E} = BLV\), по перемычке течёт ток \(I\), на неё действует сила Ампера \(F = IBL\), тормозящая движение: \[m\frac{dV}{dt} = -IBL = -BL\frac{dQ}{dt}.\] Отсюда \(V(t) = V_0 - \dfrac{BL}{m}\,Q(t)\), так как при \(t = 0\) заряд \(Q = 0\).
Закон Кирхгофа: \(BLV = \dfrac{Q}{C} + IR\). Подставляем \(V(t)\) и переходим к установившемуся режиму, когда ток \(I = 0\) и заряд конденсатора \(Q_к\) постоянен: \[BL\left(V_0 - \frac{BL}{m}Q_к\right) = \frac{Q_к}{C} \quad\Rightarrow\quad Q_к = \frac{BLV_0}{\dfrac{B^2L^2}{m} + \dfrac{1}{C}} .\] Установившаяся скорость \[V_{\text{к}} = V_0 - \frac{BL}{m}Q_к = \frac{V_0\, m}{m + B^2L^2C}.\]
Похожие задачи
- Стержень на рельсах СПбГУ 2014/15, 11 кл.
- Шарик у дуги провода с током СПбГУ 2014/15, 11 кл.
- Каркас в магнитном поле Ведомственная 2014/15, 11 кл.
- Перемычка на наклонной П-образной рамке Ведомственная 2015/16, 11 кл.
- Две перемычки на рельсах в магнитном поле Физтех 2020/21, 11 кл.
- Проводящая рамка проходит область магнитного поля Физтех 2020/21, 11 кл.