Тепловая линза

Всё тепло, поглощённое внутри радиуса \(r\), должно уйти через боковую поверхность цилиндра радиуса \(r\) и высоты \(b\), откуда получается \(dT/dr\). Фокусировка означает равенство оптических путей всех лучей от плоского фронта до точки фокуса (принцип Ферма).

a) график: \(T\) убывает от \(T_{\text{c}}\) на оси к \(T_{\text{h}}\) на краю, с нулевым наклоном при \(r=0\), параболой при \(r\le\sigma\) и логарифмом при \(\sigma\le r\le a\);  b) \(m=-\dfrac{AP_{\text{L}}}{4\pi k b\sigma^2}\approx -1{,}1\cdot10^{7}\) К/м\(^2\), \(T_{\text{c}}=T_{\text{h}}+\dfrac{AP_{\text{L}}}{4\pi k b}\Bigl(1+2\ln\dfrac a\sigma\Bigr)\approx 41\,^\circ\)C;  c) \(f=\dfrac{1}{2\gamma b|m|}=\dfrac{2\pi k\sigma^2}{\gamma AP_{\text{L}}}\approx 0{,}94\) м.

Что происходит. Лазер поглощается в освещённом пятне и греет диск. Тепло уходит только в стороны, к холодному держателю, поэтому температура наибольшая на оси и убывает к краю. Показатель преломления растёт с температурой (\(\gamma>0\)), значит, он наибольший на оси, а свет в среде с большим \(n\) идёт медленнее. Плоский фронт, прошедший диск, отстаёт на оси сильнее, чем на периферии, и искривляется в сходящийся: диск работает как собирающая линза. Главная идея: сначала стационарное уравнение теплопроводности для цилиндра радиуса \(r\) даёт \(T(r)\), затем принцип Ферма (равенство оптических путей) даёт фокус.

Обозначения. \(r\) — расстояние от оси пучка; \(P_{\text{погл}}(r)\) — мощность лазера, поглощённая внутри цилиндра радиуса \(r\) (высота \(b\) — вся толщина диска); \(q=\dfrac{AP_{\text{L}}}{4\pi k b}\) — удобная величина размерности температуры. Диск тонкий (\(b\ll a\)), температура по толщине одинакова и зависит только от \(r\).

Уравнение теплопроводности. Режим стационарный: температура не меняется, значит, вся поглощённая внутри цилиндра радиуса \(r\) мощность \(P_{\text{погл}}(r)\) уходит наружу. Через основания тепло не уходит (воздух и излучение не учитываем), остаётся боковая поверхность \(2\pi r b\). Закон Фурье для плотности потока тепла, направленного наружу, даёт \(j=-k\,dT/dr\), поэтому \[-k\,\frac{dT}{dr}\,2\pi r b = P_{\text{погл}}(r),\qquad\text{то есть}\qquad \frac{dT}{dr} = -\frac{P_{\text{погл}}(r)}{2\pi k b\, r}. \tag{1}\] Мощность \(P_{\text{погл}}(r)\) зависит от того, где проходит граница цилиндра. Интенсивность \(I=P_{\text{L}}/(\pi\sigma^2)\) одинакова по сечению пучка, из падающей мощности поглощается доля \(A\): \[P_{\text{погл}}(r)=\begin{cases} A\,I\,\pi r^2 = AP_{\text{L}}\,\dfrac{r^2}{\sigma^2}, & 0\le r\le\sigma,\\[2mm] AP_{\text{L}}, & \sigma\le r\le a.\end{cases}\tag{2}\] Вне пучка (\(r>\sigma\)) цилиндр уже вобрал всё поглощённое, и поэтому мощность перестаёт расти.

Рис. 2. Мысленный цилиндр радиуса \(r\) и высоты \(b\): поглощённая внутри него мощность уходит наружу через боковую поверхность \(2\pi r b\) (а). Разрез диска по оси (б).

Рис. 3. Поглощённая мощность \(P_{\text{погл}}(r)\): парабола внутри пучка и постоянная \(AP_{\text{L}}\) снаружи (формула (2)).

a) Подставим (2) в (1). Внутри пучка \[\frac{dT}{dr} = -\frac{AP_{\text{L}}}{2\pi k b\sigma^2}\,r ,\] снаружи \[\frac{dT}{dr} = -\frac{AP_{\text{L}}}{2\pi k b}\,\frac1r .\] Отсюда видно, как устроен график. Производная отрицательна всюду, поэтому \(T(r)\) монотонно убывает от оси к краю. При \(r\to0\) производная внутри пучка пропорциональна \(r\) и стремится к нулю: касательная на оси горизонтальна. Внутри пучка \(d^2T/dr^2<0\) (производная всё круче падает), график выпуклый вверх — кусок параболы. Снаружи производная по модулю убывает как \(1/r\), и график выпуклый вниз; на краю \(r=a\) наклон не нулевой, он равен \(-AP_{\text{L}}/(2\pi k b a)\), потому что там тепло уходит в держатель. Наклон непрерывен на границе пучка: слева \(-AP_{\text{L}}/(2\pi k b\sigma)\) и справа то же самое. Температура падает быстро: больше половины всего перепада \(T_{\text{c}}-T_{\text{h}}\) приходится на область \(r<2{,}5\) мм, то есть на шестую часть радиуса (рис. 4).

Рис. 4. Профиль температуры \(T(r)\) по формулам пункта b): бирюзовым — освещённая область \(0\le r\le\sigma\), чёрным — внешняя область \(\sigma\le r\le a\). Слева весь диск, справа окрестность оси крупнее (ось \(T\) начинается с \(30\,^\circ\)C).

b) Интегрируем внутри пучка с условием \(T(0)=T_{\text{c}}\): \[T(r)=T_{\text{c}}-\frac{AP_{\text{L}}}{4\pi k b\sigma^2}\,r^2 ,\] значит, \[m=-\frac{AP_{\text{L}}}{4\pi k b\,\sigma^2}=-\frac{q}{\sigma^2}.\] Числа: \(AP_{\text{L}}=0{,}1\cdot 20\ \text{мВт}=2{,}0\cdot10^{-3}\) Вт, \(4\pi k b=4\pi\cdot0{,}3\cdot2\cdot10^{-4}\ \text{Вт/К}=7{,}54\cdot10^{-4}\) Вт/К, поэтому \(q=2{,}65\) К и \[m=-\frac{2{,}65\ \text{К}}{(5\cdot10^{-4}\ \text{м})^2}\approx-1{,}1\cdot10^{7}\ \text{К/м}^2 .\] Теперь внешняя область. Там \(P_{\text{погл}}=AP_{\text{L}}\) постоянна, и (1) даёт \(dT/dr=-AP_{\text{L}}/(2\pi k b\,r)\). Интегрируем с условием на краю \(T(a)=T_{\text{h}}\) (край в контакте с держателем): \[T(r)=T_{\text{h}}+\frac{AP_{\text{L}}}{2\pi k b}\ln\frac ar = T_{\text{h}}+2q\ln\frac ar ,\qquad\sigma\le r\le a .\] Температура непрерывна, поэтому на границе пучка \(r=\sigma\) значения изнутри и снаружи равны: \(T_{\text{c}}-q=T_{\text{h}}+2q\ln\dfrac a\sigma\) (внутри \(T(\sigma)=T_{\text{c}}+m\sigma^2=T_{\text{c}}-q\)). Отсюда \[T_{\text{c}}=T_{\text{h}}+\frac{AP_{\text{L}}}{4\pi k b}\left[1+2\ln\frac a\sigma\right].\] Числа: \(\ln(a/\sigma)=\ln 30=3{,}40\), в скобках \(1+6{,}80=7{,}80\), нагрев \(2{,}65\cdot7{,}80=20{,}7\) К: \[T_{\text{c}}\approx 20\,^\circ\text{C}+20{,}7\ \text{К}\approx 41\,^\circ\text{C}.\] Обратите внимание: поглощённая мощность в (1) берётся внутри данного радиуса, а не вся. Если подставить в уравнение всю мощность \(AP_{\text{L}}\), внутри пучка получится \(\ln r\) вместо параболы и бесконечная температура на оси.

c) Свет проходит только освещённую область \(r\le\sigma\). Показатель преломления зависит от температуры, \(n(T)\), и из определения \(\gamma=dn/dT\) (при небольшом нагреве \(\gamma\) постоянна) \[n(r)=n(0)+\gamma\bigl(T(r)-T_{\text{c}}\bigr)=n(0)-\gamma|m|\,r^2 .\] Показатель преломления диска уменьшается от оси параболически. Каков бы ни был сам показатель \(n(0)\), в ответ он не войдёт.

Пользуемся принципом Ферма: лучи, сфокусированные в одной точке, идут от плоского фронта до этой точки за одинаковое время, то есть имеют одинаковые оптические пути. Возьмём точку на оси на расстоянии \(f\) от диска и луч, вошедший на высоте \(r\). Приближения: луч внутри диска почти не смещается (он выходит на той же высоте \(r\) и проходит путь \(b\), так как отклонение мало); \(f\gg r\) (в нашем случае \(r\le0{,}5\) мм, \(f\sim1\) м). Оптический путь луча \[s(r)=n(r)\,b+\sqrt{f^2+r^2}\approx n(r)\,b+f+\frac{r^2}{2f} = n(0)\,b+f-\gamma|m|b\,r^2+\frac{r^2}{2f}.\] Первое слагаемое — путь в диске, остальные — путь в воздухе до фокуса. Путь не зависит от \(r\) (\(s(r)=s(0)\)), когда равны коэффициенты при \(r^2\): \[\gamma|m|\,b=\frac{1}{2f}\quad\Longrightarrow\quad f=\frac{1}{2\gamma b|m|}.\] Равенство выполняется сразу для всех \(r\le\sigma\) с одним и тем же \(f\), поэтому все лучи пучка собираются в одну точку на оси — пучок действительно фокусируется. Фронт после диска сферический с центром в этой точке (рис. 5). Подставим \(m\) из пункта b): \[\boxed{\,f=\frac{2\pi k\sigma^2}{\gamma A P_{\text{L}}}\,} =\frac{2\pi\cdot0{,}3\cdot(5\cdot10^{-4})^2}{2{,}5\cdot10^{-4}\cdot 2{,}0\cdot10^{-3}}\ \text{м}\approx 0{,}94\ \text{м}.\]

Рис. 5. Лучи, ширина пучка сильно увеличена по сравнению с расстоянием до фокуса. Плоский фронт после диска становится сферическим с центром в фокусе \(F\); лучи перпендикулярны фронту.

Обратите внимание: фокусное расстояние не зависит ни от \(b\), ни от самого показателя преломления. Толщина \(b\) сокращается: чем толще диск, тем больше набег оптического пути на один кельвин, но тем меньше перепад температур, потому что тепло уходит через большую боковую поверхность \(2\pi r b\) (в \(m\) толщина стоит в знаменателе).

Проверка. Размерность: \([k\sigma^2/(\gamma AP_{\text{L}})]=\dfrac{\text{Вт}\cdot\text{м}^{-1}\text{К}^{-1}\cdot\text{м}^2}{\text{К}^{-1}\cdot\text{Вт}}=\text{м}\). Предел: если теплопроводность \(k\to\infty\) (или \(\gamma\to0\) или мощность \(P_{\text{L}}\to0\)), перепад температур исчезает, и \(f\to\infty\) — линзы нет. \(f\propto 1/P_{\text{L}}\): чем больше мощность, тем сильнее линза. Также \(T_{\text{c}}\) при \(a\to\sigma\) даёт \(T_{\text{h}}+q\) — нагрев только от пучка без внешней области.

Второй способ — по отклонению луча. Два соседних луча на расстояниях \(r\) и \(r+dr\) от оси идут с разной скоростью: \(v(r)=c/n(r)\). Поэтому фронт поворачивается с угловой скоростью \(\dot\varphi=dv/dr=-c\,n'/n^2\), а за время прохождения диска \(t=nb/c\) лучи поворачиваются на угол \(\varphi=-n'b/n\), где \(n'=dn/dr=2\gamma m r\). При выходе в воздух закон Снеллиуса для малых углов даёт угол к оси \(\theta=n\varphi=-n'b=2\gamma|m|\,b\,r\) (рис. 6). Угол \(\theta\) пропорционален \(r\), поэтому луч на высоте \(r\) пересекает ось на расстоянии \(r/\theta=1/(2\gamma|m|b)\), одинаковом для всех \(r\): это то же самое \(f\). Для крайнего луча \(r=\sigma\): \(\theta=2\cdot2{,}5\cdot10^{-4}\cdot1{,}06\cdot10^{7}\cdot2\cdot10^{-4}\cdot5\cdot10^{-4}\approx5{,}3\cdot10^{-4}\) рад, \(f=\sigma/\theta\approx0{,}94\) м. Смещение луча внутри диска порядка \(\varphi b/2\sim5\cdot10^{-8}\) м, оно намного меньше \(r\), как и предполагалось.

Рис. 6. Луч на высоте \(r\) внутри диска изгибается к оси (показатель преломления у оси больше, он показан более тёмным), на выходе угол с осью \(\theta=n\varphi\); луч пересекает ось в \(F\). Углы сильно преувеличены.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.