Пластина между магнитами

Подсказка

Ток в пластине создают два вклада: сила Лоренца (только под магнитами) и электрическое поле зарядов, накопившихся на границе области поля. Задача сводится к двумерной электростатике: найдите такое поле зарядов, чтобы ток нигде не имел источников. Внутри круга поле однородно, снаружи — поле двумерного диполя.

Ответ

a) внутри круга \(r<R\) линии тока — прямые вдоль \(+x\), снаружи — дуги окружностей, замыкающие их (на оси \(y\) ток направлен по \(+x\) внутри и по \(-x\) снаружи), на границе линии ломаются;  b) вдоль прямой \(x=0\): \(j_x=\dfrac{vB}{2\varrho}\) при \(|y|<R\) и \(j_x=-\dfrac{vB}{2\varrho}\dfrac{R^2}{y^2}\) при \(|y|>R\);  c) \(F=\dfrac{\pi R^2\delta B^2 v}{2\varrho}\), направлена по скорости (\(+y\)).

Решение

Что происходит. Работаем в системе отсчёта магнитов. Носители заряда в пластине движутся вместе с ней со скоростью \(\vec v\), и внутри круга \(r<R\), где есть поле, на единичный заряд действует сила Лоренца \(\vec v\times\vec B\). Она направлена вдоль \(+x\) и гонит ток поперёк движения пластины. Замкнуться внутри круга этот ток не может, поэтому заряды накапливаются на границе круга (плюс справа, минус слева), и их электрическое поле гонит ток обратно: внутри круга против силы Лоренца, а снаружи, где \(B=0\), по окружающему металлу. В установившемся режиме линии тока замкнуты. Главная идея: закон Ома для движущегося проводника вместе с условием отсутствия источников у тока сводит задачу к двумерной электростатике, а её решение угадывается: однородное поле внутри круга и поле двумерного диполя снаружи.

Обозначения. Оси как на рисунке 1: \(z\) вдоль поля, \(x\) и \(y\) в плоскости пластины, начало на оси магнитов; \(r,\theta\) — полярные координаты в плоскости пластины (\(\theta\) отсчитываем от оси \(x\)). Обозначим \(g=vB\) и \(j_0=\dfrac{vB}{2\varrho}\). Пластина тонкая (\(\delta\ll R\)): ток течёт в её плоскости и не зависит от \(z\). Магнитным полем самих индукционных токов пренебрегаем, условие применимости — в конце.

Уравнения. Направление силы Лоренца: \(\vec v\times\vec B=v\hat y\times B\hat z=vB\,\hat x\) при \(r<R\), вне круга она равна нулю. Закон Ома в дифференциальной форме для движущегося металла, электрическое поле зарядов потенциально (\(\vec E=-\nabla\varphi\), магнитное поле в системе магнитов постоянно, вихревого поля нет), ток нигде не имеет источников: \[\vec j=\frac{1}{\varrho}\bigl(\vec E+\vec v\times\vec B\bigr),\qquad \vec E=-\nabla\varphi,\qquad \nabla\!\cdot\vec j=0 . \tag{1}\] Сила \(\vec v\times\vec B\) постоянна внутри круга и равна нулю снаружи, поэтому \(\nabla\cdot\vec E=0\) в каждой из двух областей, то есть \(\nabla^2\varphi=0\) внутри и снаружи. На границе \(r=R\) нужно потребовать две вещи: потенциал непрерывен (тангенциальная компонента \(\vec E\) не имеет скачка), и нормальная компонента тока \(j_r\) непрерывна (заряды не вытекают через границу, ток замкнут). Решение уравнения Лапласа с такими условиями единственно.

a) Внутри круга сила Лоренца гонит ток вдоль \(+x\). Снаружи сил Лоренца нет, ток создаёт только поле зарядов \(\vec E/\varrho\); ток подходит к границе круга справа и слева и замыкается снаружи. Картина линий тока ниже построена по формулам пункта b).

• Внутри круга линии тока — параллельные прямые вдоль \(+x\) (плотность тока однородна).

• Снаружи линии тока — дуги окружностей. Линия, проходящая внутри круга на высоте \(y=h>0\), выходит из круга в точке \(\bigl(\sqrt{R^2-h^2},\,h\bigr)\), обходит круг сверху (на оси \(y\) ток направлен по \(-x\)) и входит слева в точке \(\bigl(-\sqrt{R^2-h^2},\,h\bigr)\). Это дуга окружности радиуса \(c=R^2/(2h)\) с центром \((0,c)\), касающейся оси \(x\) в начале координат. Для \(h<0\) дуга зеркальна относительно оси \(x\).

• Линия на оси \(x\) (\(h=0\)) уходит на бесконечность и замыкается там.

• На границе круга линии тока ломаются: нормальная компонента тока непрерывна, а касательная меняет знак (из \(+j_0\) в \(-j_0\) на оси \(y\)).

• Картина симметрична относительно осей \(x\) и \(y\) (направление тока на оси \(x\) одно и то же, \(+x\)).

Рис. 2. Линии тока в пластине в данный момент (вид сверху, пластина движется вдоль \(+y\), поле направлено на нас). Светлый круг — область поля, радиус \(R\). Внутри круга ток течёт по \(+x\), снаружи он возвращается по окружностям, на оси \(y\) — по \(-x\). Линии построены по формулам пункта b).

b) Ищем потенциал в виде однородного поля внутри круга и поля двумерного диполя снаружи: \[\varphi_{\text{вн}}=-a\,x=-a\,r\cos\theta\quad(r<R),\qquad \varphi_{\text{сн}}=b\,\frac{x}{r^2}=\frac{b\cos\theta}{r}\quad(r>R).\] Обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа и убывают на бесконечности (\(\varphi_{\text{сн}}\to0\)), так что (1) соблюдено внутри и снаружи. Условия на границе \(r=R\):

• непрерывность потенциала: \(-aR\cos\theta=\dfrac{b\cos\theta}{R}\), откуда \(b=-aR^2\);

• непрерывность радиальной компоненты тока. Внутри \(\varrho j_r=E_r+g\cos\theta=a\cos\theta+g\cos\theta\), снаружи \(\varrho j_r=E_r=-\dfrac{\partial\varphi_{\text{сн}}}{\partial r}=\dfrac{b\cos\theta}{R^2}=-a\cos\theta\). Приравниваем: \(a+g=-a\), откуда \(a=-\dfrac g2\) и \(b=\dfrac{gR^2}{2}\).

Отсюда получаем поле зарядов: внутри круга \(\vec E=-\dfrac g2\,\hat x\), направленное против силы Лоренца и вдвое слабее её. Плотность тока внутри: \[\vec j_{\text{вн}}=\frac{1}{\varrho}\Bigl(-\frac g2+g\Bigr)\hat x=\frac{vB}{2\varrho}\,\hat x=j_0\,\hat x ,\] то есть однородна и вдвое меньше наивного значения \(vB/\varrho\) (рис. 3).

Рис. 3. Заряды на границе круга (а): плюс справа, минус слева, поверхностная плотность \(\sigma=\varepsilon_0 vB\cos\theta\); их поле внутри круга \(\vec E_{\text{пол}}\) направлено против оси \(x\). Сложение внутри круга (б): \(\varrho\vec j=\vec E_{\text{пол}}+\vec v\times\vec B\), ток вдвое меньше, чем создала бы одна сила Лоренца.

Снаружи \(\vec j=-\nabla\varphi_{\text{сн}}/\varrho\) и \(\nabla\dfrac{x}{r^2}=\dfrac{r^2\hat x-2x\,\vec r}{r^4}\): \[\vec j_{\text{сн}}=\frac{vB\,R^2}{2\varrho}\cdot\frac{2x\,\vec r-r^2\hat x}{r^4},\qquad |\vec j_{\text{сн}}|=j_0\,\frac{R^2}{r^2}.\] Вдоль прямой, параллельной оси \(y\) и проходящей через ось магнитов (\(x=0\), \(r=|y|\)), вектор \(\vec j_{\text{сн}}\) направлен вдоль \(-\hat x\): \[\boxed{\,j_x(y)=\begin{cases} +\dfrac{vB}{2\varrho}, & |y|<R,\\[3mm] -\dfrac{vB}{2\varrho}\,\dfrac{R^2}{y^2}, & |y|>R.\end{cases}}\] Плотность тока постоянна внутри круга, на границе \(|y|=R\) знак меняется скачком с \(+j_0\) на \(-j_0\) (рис. 4), а снаружи убывает как \(1/y^2\). Скачок касательной компоненты тока объясняется силой Лоренца: тангенциальная компонента \(E\) непрерывна, а слагаемое \(\vec v\times\vec B\) обрывается на границе.

Рис. 4. Плотность тока \(j_x\) вдоль прямой \(x=0\) (\(j_0=vB/2\varrho\)): постоянна при \(|y|<R\) (бирюзовый), меняет знак на границе и спадает как \(1/y^2\) снаружи.

Обратите внимание: ток течёт и вне магнитов, где поля нет; он создан зарядами на границе круга. Если не учесть поле зарядов, получилось бы \(j=vB/\varrho\) внутри круга и нулевой ток снаружи, но такой ток не замыкается.

c) Горизонтальная сила нужна, чтобы уравновесить силу Ампера, действующую на ток в магнитном поле. Поле есть только внутри круга \(r<R\), там \(\vec j\) и \(\vec B\) однородны и перпендикулярны, поэтому на объём \(\pi R^2\delta\) действует \[\vec F_{\text{А}}=\int(\vec j\times\vec B)\,dV=\vec j_{\text{вн}}\times\vec B\;\pi R^2\delta=j_0B\,(\hat x\times\hat z)\,\pi R^2\delta=-\frac{\pi R^2\delta B^2 v}{2\varrho}\,\hat y .\] Сила Ампера направлена против скорости, как и должно быть. Пластина движется равномерно, значит, внешняя сила равна ей по модулю и противоположна по направлению: \[\boxed{\,F=\frac{\pi R^2\delta\,B^2v}{2\varrho}\,}\quad\text{вдоль }+y .\]

Рис. 5. Вид сверху: ток \(\vec j\) внутри круга направлен по \(+x\), сила Ампера \(\vec F_{\text{А}}\) на пластину — против скорости \(\vec v\), внешняя сила \(\vec F\) — по скорости.

Обратите внимание: в силу вносит вклад только ток под магнитами, а ток вне круга сил не создаёт. Наивное значение \(j=vB/\varrho\) дало бы силу вдвое больше.

Проверка. Размерность: \([vB/\varrho]=\dfrac{\text{м/с}\cdot\text{Тл}}{\text{Ом}\cdot\text{м}}=\dfrac{\text{В/м}}{\text{Ом}\cdot\text{м}}=\text{А/м}^2\); \([F]=\dfrac{\text{м}^2\cdot\text{м}\cdot\text{Тл}^2\cdot\text{м/с}}{\text{Ом}\cdot\text{м}}=\text{Н}\).

Полный ток через прямую \(x=0\) должен быть нулём (линии тока замкнуты): \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}j_x\,dy=j_0\cdot2R-2j_0R^2\!\int_R^\infty\!\frac{dy}{y^2}=2j_0R-2j_0R=0\). Численная проверка: на границе \(r=R\) нормальная компонента \(\vec j\) и тангенциальная компонента \(\vec E=\varrho\vec j-\vec v\times\vec B\) совпадают изнутри и снаружи, \(\nabla\cdot\vec j_{\text{сн}}=0\), а численно проведённая линия тока при \(h=0{,}5R\) является окружностью радиуса \(R^2/(2h)=R\) с отклонением менее \(10^{-3}R\).

Второй способ для пункта c) — баланс мощности: механическая мощность \(Fv\) равна мощности джоулева тепла \(P=\int\varrho j^2\,dV\). Внутри круга \(P_{\text{вн}}=\varrho j_0^2\,\pi R^2\delta=\dfrac{v^2B^2}{4\varrho}\pi R^2\delta\). Снаружи \(|\vec j|=j_0R^2/r^2\) и \[P_{\text{сн}}=\varrho j_0^2R^4\,\delta\int_R^\infty\frac{2\pi r\,dr}{r^4}=\varrho j_0^2R^4\,\delta\,\frac{\pi}{R^2}=\frac{v^2B^2}{4\varrho}\pi R^2\delta .\] Снаружи выделяется столько же тепла, сколько внутри (рис. 6). Сумма \(P=\dfrac{v^2B^2}{2\varrho}\pi R^2\delta\), откуда \(F=P/v=\dfrac{\pi R^2\delta B^2v}{2\varrho}\) — то же самое.

Рис. 6. Доля джоулева тепла, выделившегося внутри радиуса \(r\): внутри круга \(\tfrac12(r/R)^2\), снаружи \(1-R^2/(2r^2)\). Ровно половина тепла выделяется под магнитами, вторая половина — в окружающем металле (основная часть в нескольких радиусах от оси).

Оценка: \(B=1\) Тл, \(R=1\) см, \(\delta=1\) мм, \(v=1\) м/с, медь \(\varrho=1{,}7\cdot10^{-8}\) Ом\(\cdot\)м: \(F\approx\dfrac{3{,}14\cdot10^{-4}\cdot10^{-3}\cdot1\cdot1}{2\cdot1{,}7\cdot10^{-8}}\approx9\) Н.

Условие применимости: поле, созданное самими токами пластины, мало по сравнению с \(B\). Пластина — слой с поверхностной плотностью тока \(j_0\delta\), его поле порядка \(\mu_0 j_0\delta/2\), отношение к \(B\) равно \(\dfrac{\mu_0 v\delta}{4\varrho}\). Для меди при числах оценки это \(\approx0{,}02\ll1\), условие выполнено.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.