Кирпич между двумя плоскостями

Перейдите к скоростям плоскостей относительно кирпича: обе они меняются на один и тот же вектор, а установившееся движение наступает, когда они направлены противоположно. Найдите величину, которая сохраняется.

a) \(v_\infty=\dfrac{u_1}{\sqrt2}\) (то есть \(u/\sqrt2\) при \(u_1=u_2=u\));  b) \(v_x=\dfrac{u_1}{2}\Bigl(1-\dfrac{u_1-u_2}{D}\Bigr)\), \(v_y=\dfrac{u_2}{2}\Bigl(1+\dfrac{u_1-u_2}{D}\Bigr)\), \(D=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\), откуда \(v_\infty=\dfrac{1}{\sqrt2}\sqrt{u_1u_2-(u_1-u_2)^2\Bigl(\dfrac{u_1+u_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}-1\Bigr)}\).

Что происходит. Кирпич зажат, поэтому каждая плоскость тянет его силой трения скольжения вдоль своей скорости относительно кирпича. Силы равны по модулю и направлены в разные стороны, их сумма разгоняет кирпич. Разгон прекращается, когда обе плоскости оказываются «в противоположных сторонах» от кирпича: тогда силы трения уравновешены. Главная идея: перейти к скоростям плоскостей относительно кирпича. Они меняются одинаково, и из этого получается сохраняющаяся величина.

Обозначения. Смотрим сверху, в проекции на плоскость \(xy\): векторы скоростей плоскостей \(\vec u_1=(u_1,0)\) и \(\vec u_2=(0,u_2)\) перпендикулярны, \(D=|\vec u_1-\vec u_2|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}\). Скорость кирпича \(\vec v\) (вдоль \(z\) он не движется), масса \(m\), нормальная сила от каждой плоскости \(N\), сила трения скольжения \(F=\mu N\). Скорости плоскостей относительно кирпича \[\vec w_1=\vec u_1-\vec v,\qquad \vec w_2=\vec u_2-\vec v,\qquad \hat w_i=\frac{\vec w_i}{|\vec w_i|},\qquad a_0=\frac Fm .\] В начальный момент \(\vec v=0\), поэтому \(\vec w_1=\vec u_1\), \(\vec w_2=\vec u_2\).

1. Силы на кирпич. В невесомости вдоль оси \(z\) на кирпич действуют только нормальные силы от плоскостей, а ускорения вдоль \(z\) нет. Значит, нормальные силы равны: на верхней и на нижней грани одно и то же \(N\). Силы кинетического трения равны по модулю, \(F=\mu N\) (одинаковые \(\mu\) и \(N\)), и направлены вдоль скорости плоскости относительно кирпича: плоскость увлекает кирпич за собой. Второй закон Ньютона для кирпича в проекции на плоскость \(xy\): \[m\,\frac{d\vec v}{dt}=F\,(\hat w_1+\hat w_2). \tag{1}\] Ускорение направлено по биссектрисе угла между \(\vec w_1\) и \(\vec w_2\) (рис. 2). Величина \(N\) (и \(a_0\)) может меняться со временем: на ответ это не влияет, лишь бы сила не обращалась в нуль.

Рис. 2. Силы \(\vec F_1\) и \(\vec F_2\) равны по модулю и направлены вдоль \(\vec w_1\) и \(\vec w_2\) (пример \(u_1=4\), \(u_2=3\), \(\vec v=(1;\,0{,}8)\)); их сумма \(\vec F\) — вдоль биссектрисы угла между \(\vec w_1\) и \(\vec w_2\).

2. Что сохраняется. Плоскости движутся с постоянными скоростями, поэтому из \(\vec w_i=\vec u_i-\vec v\) \[\frac{d\vec w_1}{dt}=\frac{d\vec w_2}{dt}=-\frac{d\vec v}{dt}=-a_0\,(\hat w_1+\hat w_2).\] Обе относительные скорости получают одно и то же приращение \(-a_0(\hat w_1+\hat w_2)\,dt\). Изменение модуля вектора — это проекция его изменения на сам вектор: \(d|\vec w_i|/dt=\hat w_i\cdot d\vec w_i/dt\). Отсюда \[\frac{d|\vec w_1|}{dt}=-a_0\,(1+\hat w_1\!\cdot\!\hat w_2),\qquad \frac{d|\vec w_2|}{dt}=-a_0\,(\hat w_1\!\cdot\!\hat w_2+1).\] Скорости изменения модулей равны, значит, разность модулей сохраняется: \[|\vec w_1|-|\vec w_2|=u_1-u_2\equiv\delta . \tag{2}\] Смысл: ускорение по биссектрисе убавляет оба модуля поровну (рис. 3). Одновременно вектор \(\vec w_1-\vec w_2=\vec u_1-\vec u_2\) не меняется вовсе: скорость кирпича в него не входит.

Рис. 3. Модули \(|\vec w_1|\) и \(|\vec w_2|\) при \(u_1=4\), \(u_2=3\) (численное интегрирование уравнения (1); \(a_0t\) — в тех же единицах, что скорость). Оба убывают, разность \(\delta=1\) остаётся постоянной, пределы \(s=3\) и \(t=2\).

3. Конечное состояние. Скорость кирпича перестаёт расти, когда сила обращается в нуль: \(\hat w_1+\hat w_2=0\), то есть \(\vec w_1\) и \(\vec w_2\) направлены противоположно. К этому система действительно приходит: сумма \(|\vec w_1|+|\vec w_2|\) убывает со скоростью \(-2a_0(1+\hat w_1\!\cdot\!\hat w_2)\le0\), а снизу ограничена неравенством треугольника \(|\vec w_1|+|\vec w_2|\ge|\vec w_1-\vec w_2|=D\); убывание прекращается, когда \(1+\hat w_1\!\cdot\!\hat w_2\to0\).

В конце \(\vec w_1=s\,\hat e\), \(\vec w_2=-t\,\hat e\) с \(s,t>0\), где единичный вектор \(\hat e\) направлен вдоль \(\vec u_1-\vec u_2\). Из вектора \(\vec w_1-\vec w_2=\vec u_1-\vec u_2\) и из (2) получаем два уравнения для длин: \[s+t=D,\qquad s-t=\delta \quad\Longrightarrow\quad s=\frac{D+\delta}{2},\quad t=\frac{D-\delta}{2}.\] Геометрически: концы векторов \(\vec u_1\) и \(\vec u_2\) соединены отрезком — гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(u_1\) и \(u_2\); конец вектора \(\vec v_\infty\) лежит на этой гипотенузе и делит её на отрезки \(s\) (до конца \(\vec u_1\)) и \(t\) (до конца \(\vec u_2\)).

a) При \(u_1=u_2\) имеем \(\delta=0\), \(|\vec w_1|=|\vec w_2|\) в любой момент: сила всё время направлена по диагонали, под \(45^\circ\) к осям, и кирпич разгоняется по диагонали (рис. 4). В конце \(s=t=D/2\): конец \(\vec v_\infty\) — середина гипотенузы, \(v_x=v_y=u_1/2\): \[\boxed{\,v_\infty=\frac{u_1}{\sqrt2}\,}.\] (Это половина гипотенузы \(D/2=u_1\sqrt2/2\).)

Рис. 4. Случай \(u_1=u_2\): скорость кирпича растёт по диагонали (ускорение \(\vec a\) — под \(45^\circ\)) до середины гипотенузы; в конце \(\vec w_1\) и \(\vec w_2\) направлены вдоль гипотенузы в противоположные стороны.

b) Точка \(\vec v_\infty\) делит гипотенузу в отношении \(s:t\). Выразим вектор через концы: \(\vec v=\vec u_1-s\hat e\) с \(\hat e=(\vec u_1-\vec u_2)/D\), откуда \[\vec v_\infty=\frac{t}{D}\,\vec u_1+\frac{s}{D}\,\vec u_2 , \qquad v_x=\frac{t\,u_1}{D}=\frac{u_1}{2}\Bigl(1-\frac{\delta}{D}\Bigr),\quad v_y=\frac{s\,u_2}{D}=\frac{u_2}{2}\Bigl(1+\frac{\delta}{D}\Bigr).\] Модуль: \[v_\infty^2=v_x^2+v_y^2=\frac14\Bigl[D^2+\delta^2-\frac{2\delta}{D}\,(u_1^2-u_2^2)\Bigr].\] Подставим \(u_1^2-u_2^2=\delta\,(u_1+u_2)\) и \(D^2+\delta^2=2(u_1^2+u_2^2)-2u_1u_2=2(u_1u_2+\delta^2)\): \[v_\infty^2=\frac12\Bigl[u_1u_2+\delta^2-\delta^2\,\frac{u_1+u_2}{D}\Bigr].\] Отсюда \[\boxed{\,v_\infty=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{\,u_1u_2-(u_1-u_2)^2\Bigl(\frac{u_1+u_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}}-1\Bigr)}\,}.\] Пример: \(u_1=4\), \(u_2=3\) (любые единицы скорости). Тогда \(D=5\), \(\delta=1\), \(s=3\), \(t=2\), \(v_x=2\cdot4/5=1{,}6\), \(v_y=3\cdot3/5=1{,}8\), \(v_\infty=\sqrt{1{,}6^2+1{,}8^2}\approx2{,}41\) (рис. 5). Прямое численное интегрирование уравнения (1) для этих данных приходит к \(\vec v=(1{,}60;\,1{,}80)\).

Рис. 5. Конечное состояние для \(u_1=4\), \(u_2=3\): конец \(\vec v_\infty\) делит гипотенузу на отрезки \(|\vec w_1|=s=3\) и \(|\vec w_2|=t=2\) (пунктир); \(v_x=1{,}6\), \(v_y=1{,}8\).

Обратите внимание: точку на гипотенузе определяет именно сохранение разности модулей (2). Типичные неверные ответы — середина гипотенузы (скорость \(\tfrac12\sqrt{u_1^2+u_2^2}\), она верна только при \(u_1=u_2\)) и основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на гипотенузу; обе точки лежат на той же гипотенузе, но в другом месте (рис. 6).

Рис. 6. Конец вектора скорости кирпича в плоскости \((v_x,v_y)\) при \(u_1=5\), \(u_2=2\) (численное интегрирование): кривая начинается под \(45^\circ\) и приходит в точку \(V\) (по формуле \(v_x=1{,}11\), \(v_y=1{,}56\)). \(H\) — основание перпендикуляра из \(O\) на гипотенузу, \(M\) — её середина.

Проверка. Размерность: все слагаемые под корнем — квадраты скорости. Симметрия: формула не меняется при \(u_1\leftrightarrow u_2\), как и должно быть (плоскости различаются только осью). При \(u_1=u_2\) имеем \(\delta=0\) и \(u_1/\sqrt2\), как в пункте a). Пределы: при \(u_2\to0\) верхняя плоскость неподвижна, сила трения от неё всё время равна по модулю силе от нижней и направлена противоположно, так что кирпич остаётся в покое, и формула даёт \(v_\infty\to0\); разложение по малому \(x=u_2/u_1\) даёт \(v_\infty\approx\frac{\sqrt5}{2}\,u_2\) — порядка меньшей из скоростей (рис. 7). Второй способ — численное решение уравнения (1): для \((u_1,u_2)=(4;\,3),\,(2;\,5),\,(3;\,1)\) скорости \(2{,}408,\ 1{,}911,\ 0{,}985\) совпали с формулой до пяти знаков.

Рис. 7. Зависимость \(v_\infty/u_1\) от отношения \(u_2/u_1\) по формуле пункта b); при \(u_2/u_1\to\infty\) кривая стремится к \(\sqrt5/2\): тогда меньшая из скоростей — \(u_1\), и \(v_\infty\approx\frac{\sqrt5}{2}\,u_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.