Кольцо с двумя проволоками

Кольцо при контактах в диаметрально противоположных точках — это два параллельно включённых сопротивления; найдите их сумму как функцию \(\varphi\). Для второго вопроса посмотрите, меняется ли сопротивление кольца при повороте.

Вопрос 1. Кольцо представляет собой два параллельно подключённых сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) (см. рисунок). Угол \(\varphi\) отсчитывается от точки контакта до места спая проволок; тогда длина первой проволоки в контакте равна \(\varphi r\), второй \((\pi-\varphi)r\), и \[R_1=\frac{r}{S}\bigl(\varphi\rho_1+(\pi-\varphi)\rho_2\bigr), \qquad R_2=\frac{r}{S}\bigl(\varphi\rho_2+(\pi-\varphi)\rho_1\bigr).\] Общее сопротивление \[R_0=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{r}{\pi S}\left[\varphi(\pi-\varphi)\frac{(\rho_1-\rho_2)^2}{\rho_1+\rho_2} +\frac{\pi^2\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}\right].\] Мощность \(W=V_0^2/R_0\) минимальна, когда \(R_0\) максимально, т.е. при \(\varphi=\pi/2\).

Вопрос 2. При повороте кольца на малый угол \(d\alpha\) одна дуга теряет участок с удельным сопротивлением \(\rho(-d\alpha)\), а другая приобретает участок с \(\rho(\pi-d\alpha)\). Для данной функции \(\rho(-x)=\rho(\pi-x)\) (члены \(\cos^2 3\varphi\) и \(\sin4\varphi\sin2\varphi\) при этом переходят сами в себя), поэтому \(dR_1\propto\rho(-d\alpha)-\rho(\pi-d\alpha)=0\). Значит, при вращении с любой скоростью выделяемая мощность такая же, как при неподвижном кольце: \(\langle W\rangle=W_0\).