Бесконечная система капилляров

Гидравлическое сопротивление трубки \(H=\dfrac{128\,\eta L}{\pi D^4}\) играет роль электрического сопротивления, расход — тока, перепад давления — напряжения. Схема становится цепочкой сопротивлений, и её можно свести к самоподобной рекурсии.

По аналогии с электрическими цепями вводим гидравлическое сопротивление \(H=\dfrac{128\,\eta L}{\pi D^4}\), закон \(\Delta p=HQ\), где \(Q\) — аналог тока, \(\Delta p\) — аналог напряжения. Для гидравлических сопротивлений справедливы правила последовательного и параллельного соединения. Сопротивления трубок \(H_i=k^{i-1}H_1\), \(h_i=k^{i-1}h_1\) (для трубок \(X_i\)). Эквивалентная электрическая схема — бесконечная цепочка, в которой сопротивления растут в \(k\) раз, а каждая ветвь \(X_i\) уходит в общий нулевой провод.

Ток через сопротивление \(X_i\) (расход во внешнее пространство) равен \(I_i=\dfrac{U_i}{k^{i-1}r}\). Правая часть схемы, начиная с первой точки ветвления, подобна исходной, но все номиналы в \(k\) раз больше; её сопротивление \(kR_\Sigma\). Отсюда напряжения в точках ветвления образуют геометрическую прогрессию: \(U_i=U_\Sigma\left(1-\dfrac{R}{R_\Sigma}\right)^{i}\), а \[I_i=\frac{U_\Sigma}{k^{i-1}r}\left(1-\frac{R}{R_\Sigma}\right)^{i}.\] Полное сопротивление схемы \(R_\Sigma\) удовлетворяет \[R_\Sigma=R+\frac{krR_\Sigma}{r+kR_\Sigma} \quad\Rightarrow\quad kR_\Sigma^2+(r-kR)R_\Sigma-rR(k+1)=0,\] откуда (выбираем корень с плюсом) \(R_\Sigma=\dfrac{1}{2k}\left(kR-r+\sqrt{(r-kR)^2+4k(k+1)rR}\right)\). Подставляем \(R\to H\sim L\), \(r\to h\sim X\) и учитываем \(h/H=X/L\); в скобках остаются только \(X\) и \(L\). Расход из трубки \(X_N\), переведённый обратно в гидравлические величины, даёт ответ.