Физика живых систем
6/10Численные значения:
атмосферное давление при нормальных условиях \(1.013\cdot 10^5~ Па = 760~ мм. рт. ст\).
Часть А. Физика кровеносной системы (4.5 балла)
Приближенно кровеносные сосуды можно считать цилиндрическими. Известно, что для стационарного нетурбулентного потока несжимаемой жидкости в недеформируемом цилиндре разность давлений на концах цилиндра задается формулой \[\Delta P=\frac{8l\eta}{\pi r^4}Q,\] где \(l\) и \(r\) длина и радиус цилиндра соответственно, \(\eta\) – вязкостъ жидкости, а \(Q\) – объемный расход (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение цилиндра за единицу времени). Эта формула дает верное по порядку значение для разницы давлений даже в случае пульсирующего потока, нежестких стенок сосуда, имеющих сложную форму. То, что кровь – это не просто жидкость, а смесь клеток и плазмы, также несущественно. Более того, эта формула имеет такой же вид, что и закон Ома. Проведем аналогию: объемный расход жидкости соответствует электрическому току, а разность давлений — разности потенциалов. Таким образом, величина \(\Delta P={8l\eta}/{\pi r^4}\) – сопротивление.
Рассмотрим симметричную сеть мелких артерий, доставляющих кровь от крупной артерии к капиллярам. В этой сети каждый сосуд делится на два одинаковых сосуда (см. рис). Сосуды каждого последующего уровня — более тонкие и короткие, чем на предыдущем уровне. Будем считать, что радиус и длина сосудов, принадлежащих двум соседним уровням, \(i\) и \(i+1\), связаны между собой соотношениями: \(r_{i+1}=r_i/2^{1/3}\) и \(l_{i+1}=l_i/2^{1/3}.\)
Рис. 1. Схема сети мелких артерий
A1. Найдите объемный расход \(Q_i\) в одиночном сосуде \(i\)-го уровня. Ответ выразите через число уровней сети \(N\), вязкость \(\eta\), радиус \(r_0\) и длину \(l_0\) первого сосуда и разницу давлений \(\Delta P=P_0-P_{\mathrm{cap}}\) между сосудом нулевого уровня и капиллярами.
A2. Рассчитайте объемный расход \(Q_0\) (в \(мл/ч\)) в сосуде нулевого уровня. Его радиус – \(6.0 \cdot 10^{-5} ~м\), длина – \(2.0 \cdot 10^{-3}~ м\). Давление на входе в сосуд – \(55~ мм. рт. ст.\), давление в капиллярах – \(30~ мм. рт. ст.\), число уровней сети \(N = 6\). Вязкость крови \(\eta = 3.5 \cdot 10^{-3}~ кг/(м\cdot с)\).
Электрическая RLC модель кровеносных сосудов
Представление сосудов в виде жестких цилиндров может быть усовершенствовано путем введения некоторых поправок. Особенно важно учесть нестационарность потока, а также изменение диаметра сосудов при пульсирующем потоке крови. Кроме того, как показывают наблюдения, в широких сосудах давление крови варьируется довольно значительно, в то время как в более тонких сосудах амплитуда колебаний давления намного меньше, и поток крови практически не зависит от времени.
При увеличении давления в реальном сосуде его диаметр увеличивается. Это приводит к увеличению объема крови, которая находится внутри сосуда. Когда давление снизится, этот сосуд будет источником крови для следующего сосуда. Это похоже на поведение конденсатора в электрической цепи.
Из-за нестационарности потока крови нужно учесть инерцию жидкости, считая ее пропорциональной плотности \(\rho = 1.05 \cdot 10^3 ~кг/м^3\). Электрическим эквивалентом будет индуктивность. Полная электрическая схема такой модели сосуда приведена на рисунке. Эквивалентные емкость и индуктивность задаются следующими выражениями: \[C=\frac{3l\pi r^3}{2Eh},\qquad L=\frac{9lp}{4\pi r^2},\] соответственно, где \(h\) – толщина стенки сосуда, а \(E\) – модуль Юнга (для сосудов его можно считать равным \(E = 0.06 ~МПа\)).
Рис. 2. Электрическая схема сосуда согласно описанной модели
A3. В установившемся режиме расход в сосуде колеблется с угловой частотой \(\omega\).
Найдите амплитуду колебаний давления на выходе сосуда \(P_{\mathrm{out}}\). Ответ выразите через амплитуду колебаний на его входе \(P_{\mathrm{in}}\), угловую частоту \(\omega\), сопротивление \(R\), индуктивность \(L\) и емкость \(C\). Найдите соотношение между \(\eta\), \(\rho\), \(E\), \(h\), \(r\) и \(l\), при котором на низких частотах амплитуда колебаний давления на выходе сосуда меньше, чем амплитуда колебаний давления на его входе.
A4. Для сети сосудов, описанной в пункте A2, оцените максимальную толщину стенки сосуда \(h\), для которой выполняется условие из пункта A3. Считайте, что \(h\) не зависит от уровня сосуда.
Часть B. Рост опухоли (5.5 балла)
Рассмотрим группу здоровых клеток, окруженную нерастяжимой мембраной (так формируется ткань). Таким образом, ткань сохраняет свою начальную сферическую форму радиуса \(R\) (см. рис).
Рис. 3. Упрощенная модель опухоли
Изначально в ткани отсутствуют какие-либо напряжения – в любой ее точке давление равно атмосферному.
В момент времени \(t=0\) опухоль начинает расти в центре сферы и, по мере того как она разрастается, давление внутри ткани увеличивается. Будем считать, что оба типа ткани (здоровая \(\mathrm N\) и опухолевая \(\mathrm T\)) — сжимаемы, и их плотности \(\rho_{\mathrm N}\) и \(\rho_{\mathrm T}\) растут линейно с давлением: \[\rho_{\mathrm N}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm N}}\right),\qquad \rho_{\mathrm T}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm T}}\right),\]где \(\rho_0\) – плотность ткани при нормальном давлении, \(p\) – избыточное давление по сравнению с атмосферным, \(K_{\mathrm N}\), \(K_{\mathrm T}\) – модули объемного сжатия нормальной и опухолевой тканей, соответственно. Опухолевая ткань обычно более жесткая, поэтому у нее более высокий объемный модуль упругости.
Считайте, что при росте опухоли масса здоровых клеток не меняется.
B1. Найдите отношение объема опухоли к общему объему ткани \(v=V_{\mathrm T}/V\). Ответ выразите через отношение \(\mu=M_{\mathrm T}/M_{\mathrm N}\) массы опухоли \(M_{\mathrm T}\) к массе нормальной ткани \(M_{\mathrm N}\) и отношения соответствующих модулей объемного сжатия \(\kappa=K_{\mathrm T}/K_{\mathrm N}\).
Одним из методов лечения рака является гипертермия. В этом методе, раковые клетки избирательно нагреваются от нормальной температуры человеческого тела \(37\,^{\circ}\mathrm C\) до температуры, превышающей \(43\,^{\circ}\mathrm C\), что вызывает их смерть. В настоящее время ученые работают над созданием углеродных нанотрубок, покрытых особыми белками, которые могут связываться с раковыми клетками. При облучении ткани инфракрасным излучением, нанотрубки поглощают его значительно эффективнее, чем окружающие ткани. Таким образом, можно разогреть нанотрубки и опухолевую ткань до нужной температуры, не повреждая здоровую ткань.
Пусть здоровые клетки, клетки опухоли и окружающие ткани все имеют одинаковую теплопроводность \(k\). Считайте, что плотность потока тепловой энергии (энергия проходящая в единицу времени через единицу площади) равна произведению теплопроводности \(k\) и градиента температуры \(\mathrm dT/\mathrm dr\). Нанотрубки распределены по объему опухоли равномерно и при облучении выделяют тепловую мощность на единицу объема \(\mathcal P\). Примите температуру окружающих тканей вдали от опухоли равной нормальной температуре тела.
B2. Найдите температуру в центре опухоли в стационарном режиме. Ответ выразите через \(\mathcal P\), \(k\), температуру человеческого тела и радиус опухоли \(R_{\mathrm T}\).
B3. Рассчитайте минимальную мощность на единицу объема \(\mathcal P_{\min}\), которая нужна, чтобы разогреть все раковые клетки в опухоли радиусом \(5.0~ см\) до температуры, превышающей \(43.0\,^{\circ}\mathrm C\). Теплопроводность тканей – \(k = 0.60~ Вт/(К\cdot м)\).
Пусть опухолевая ткань содержит сосудистую систему, как в пункте A1. Когда опухоль разрастается, давление \(p\) в ней становится выше, чем давление в капиллярах \(P_{\mathrm {cap}}\). При этом радиус сосудов уменьшается на величину \(\delta r\). Если давление превысит критическое значение \(p_c\) (которому соответствует \(\delta r_c\)), нормальное кровоснабжение опухоли будет нарушено из-за слипания капилляров. Давление и изменение радиуса сосудов связаны друг с другом следующим соотношением: \[\frac{p}{P_{\mathrm {cap}}}-1=\left(\frac{p_c}{P_{\mathrm {cap}}}-1\right)\left(2-\frac{\delta r}{\delta r_c}\right)\frac{\delta r}{\delta r_c}.\] В следующем пункте считайте, что при росте опухоли изменяются радиусы сосудов только на уровне \(N-1\). Считайте также, что разность \(p-P_{\mathrm {cap}}\) мала.
B4. Найдите относительное уменьшение расхода \({\delta Q_{N-1}}/{Q_{N-1}}\) в самых тонких сосудах. Ответ выразите через относительный объем опухоли \(v=V_{\mathrm T}/V\), \(K_{\mathrm N}\), \(N\), \(p_c\), \(\delta r_c\), \(r_{N-1}\), \(P_{\mathrm {cap}}\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветA1: \[Q_i=\Delta P\frac{\pi r_0^4}{2^{i+3}Nl_0\eta}.\]; A2: \[Q_0=1.5~мл/ч\]; A3: \[P_{\mathrm{out}}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{\sqrt{(1-\omega^2 LC)^2+\omega^2C^2R^2}}.\] \[\frac{64\eta^2l^2}{3Ehr^3\rho}>1.\]; A4: \(h_{\max}\approx8\cdot10^{-5}~м\); B1: \[v=\frac{1+\mu-\sqrt{(1+\mu)^2-4\mu(1-\kappa)}}{2(1-\kappa)}.\]; B2: \(T(r=0)=310.15~К+\frac{\mathcal PR_{\mathrm T}^2}{2k}.\); B3: \(\mathcal P_{\mathrm {min}}=\frac{3\Delta Tk}{\mathcal PR_\mathrm T^2}=4.3~кВт/м^3\)
РешениеA1. Поскольку кровеносная система симметрична, поток в сосуде на \(i+1\)-м уровне будет в два раза меньше, чем ан \(i\)-том. Таким образом, сумма перепадов давлений на всех уровнях:\[\Delta P=\sum_{i=0}^{N-1}Q_iR_i=Q_0\sum_{i=0}^{N-1}\frac{R_i}{2^i}.\]Выражая через величины, требуемые в условии,\[\Delta P=Q_0\sum_{i=0}^{N-1}\frac{8l_i\eta}{2^i\pi r^4_i}=Q_0\frac{8l_0\eta}{\pi r^4}\sum_{i=0}^{N-1}\frac{2^{4i/3}}{2^{i}2^{i/3}}=Q_0N\frac{8l_0\eta}{\pi r_0^4}.\]Таким образом,\[Q_0=\Delta P\frac{\pi r_0^4}{8Nl_0\eta}.\]Значит, поток в сосуде на \(i\)-том уровне будет равен:
Ответ:
\[Q_i=\Delta P\frac{\pi r_0^4}{2^{i+3}Nl_0\eta}.\]
A2. Ответ:
\[Q_0=1.5~мл/ч\]
A3. «Ток» равен\[I=\frac{P_{\rm{in}}e^{i\omega t}}{R+i\omega L+1/i\omega C}.\]Разность давлений на <<конденсаторе>>:\[P_{\rm{out}}e^{i(\omega t+\phi)}=\frac{P_{\rm{in}}e^{i\omega t}}{R+i\omega L+1/i\omega C}\frac{1}{i\omega C}=\frac{P_{\rm{in}}e^{i\omega t}}{i\omega CR-\omega ^2LC+1}.\]Амплитуда:\[P_{\rm{out}}=\frac{P_{\rm{in}}}{\sqrt{(1-\omega ^2LC)^2+\omega^2C^2R^2}}.\]
Ответ:
\[P_{\mathrm{out}}=\frac{P_{\mathrm{in}}}{\sqrt{(1-\omega^2 LC)^2+\omega^2C^2R^2}}.\]
Чтобы в пределе \(\omega\to0\) амплитуда колебаний на выходе была меньше \(P_{\rm{in}}\), необходимо:\[(1-\omega^2LC)^2+\omega^2C^2R^2 > 1\implies-2CL+C^2R^2 > 0.\]Подставляя выражения для \(L\), \(C\) и \(R\), получим:
Ответ:
\[\frac{64\eta^2l^2}{3Ehr^3\rho}>1.\]
A4. Выражение из предыдущего пункта может быть переписано в виде:\[h < \frac{64\eta^2l^2}{3Er^3\rho}.\]Для сети сосудов из пункта A2 можем записать \(h < \frac{64\eta^2l_0^2\cdot 2^i}{3\cdot 2^{2i/3}Er_0^3\rho} = 2^{i/3}\cdot7.7\cdot10^{-5}~м\). В худшем случае \(i=0\), поэтому
Ответ:
\(h_{\max}\approx8\cdot10^{-5}~м\)
B1. Масса опухоли:\[M_\mathrm T=V_\mathrm T\rho_\mathrm T=V_\mathrm T\rho_0(1+p/K_\mathrm T).\]Масса нормальной ткани:\[M_\mathrm N=V_\mathrm N\rho_\mathrm N=(V-V_\mathrm T)\rho_0(1+p/K_\mathrm N).\]Давление можно записать в виде\[p=\frac{M_\mathrm TK_\mathrm T}{V_\mathrm T\rho_0}-K_\mathrm T,\]тогда уравнение для массы нормальной ткани:\[M_\mathrm N=V_\mathrm N\rho_\mathrm N=(V-V_\mathrm T)\frac{M_\mathrm N}{V}\left[\left(1-\frac{K_\mathrm T}{K_\mathrm N}\right)+\frac{M_\mathrm TVK_\mathrm T}{V_\mathrm TM_\mathrm NK_\mathrm N}\right].\]Упрощая,\[(1-\kappa)v^2-(1+\mu)v+\mu=0.\]У этого уравнения есть два решения. Необходимо выбрать решение, дающее \(v=0\) при \(\mu=0\), итого:
Ответ:
\[v=\frac{1+\mu-\sqrt{(1+\mu)^2-4\mu(1-\kappa)}}{2(1-\kappa)}.\]
B2. При \(r < R_\mathrm T\) поток энергии запишется как:\[4\pi r^2k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}=\mathcal P\frac43\pi r^3.\]Проинтегрируем от \(0\) до \(R_\mathrm T\):\[\Delta T_1=\frac{\mathcal P R_\mathrm T^2}{6k}.\]При \(r > R_\mathrm T\) аналогично:\[4\pi r^2k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}=\mathcal P\frac43\pi R^3_\mathrm T.\]Проинтегрируем от \(R_\mathrm T\) до \(+\infty\):\[\Delta T_2=\frac{\mathcal PR_\mathrm T^2}{3k}.\]Итого \(\Delta T=\frac{\mathcal P R_\mathrm T^2}{2k}\) и
Ответ:
\(T(r=0)=310.15~К+\frac{\mathcal PR_{\mathrm T}^2}{2k}.\)
B3. Наименьшее увеличение температуры наблюдается на границе опухоли:\[\Delta T(r=R_\mathrm T)=\frac{\mathcal PR_\mathrm T^2}{3k}.\]Температура должна увеличиться на \(6~К\), откуда
Ответ:
\(\mathcal P_{\mathrm {min}}=\frac{3\Delta Tk}{\mathcal PR_\mathrm T^2}=4.3~кВт/м^3\)
B4. \(\delta r\) можно связать с давлением в опухоли с помощью соотношения из условия. Оставив только первый порядок, имеем: \(\delta r=\frac{p-P_\mathrm {cap}}{2(p_\mathrm c-P_\mathrm {cap})}\delta r_\mathrm c\). Таким образом, \(\delta r\) будет малым, если мало \(p-P_\mathrm {cap}\).
Свяжем давление и объём. Поскольку
\[\frac{M_{\mathrm{N}}}{V_{\mathrm{N}}}=\frac{\rho_0 V}{V-V_{\mathrm{T}}}=\frac{\rho_0}{1-v}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm{N}}}\right) ,\]получим \(p=\frac{K_{\mathrm{N}} v}{1-v}\).
Когда мелкие сосуды сужаются, меняется поток в основном сосуде:
\[\Delta P=\left(Q_0+\delta Q_0\right) \sum_{i=0}^{N-1} \frac{8 \ell_i \eta}{2^i \pi r_i^4}=\left(Q_0+\delta Q_0\right) \frac{8 \ell_0 \eta}{\pi r_0^4}\left(\sum_{i=0}^{N-2} \frac{2^{4 i / 3}}{2^i 2^{i / 3}}+\frac{2^{4(N-1) / 3}}{2^{N-1} 2^{(N-1) / 3}\left(1-\frac{\delta r}{r_0 / 2^{(N-1) / 3}}\right)^4}\right) \\ \Longrightarrow \Delta P \simeq\left(Q_0+\delta Q_0\right) \frac{\Delta P}{N Q_0}\left(N-1+1+\frac{4 \delta r}{r_{N-1}}\right)\]
Учитывая, что \(\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}}=\frac{\delta Q_0}{Q_0}\), получим
\[1+\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}}=\frac{1}{1+\frac{4 \delta r}{N r_{N-1}}} \approx 1-\frac{4 \delta r}{N r_{N-1}} ,\]т.е.
\[\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}} \simeq-\frac{4}{N} \frac{\delta r}{r_{N-1}} .\]Объединяя полученные результаты, окончательный ответ:
Ответ:
\[\frac{\delta Q_{N-1}}{\delta Q_{N-1}}\simeq-\frac{2}{N}\frac{K_\mathrm N v-(1-v)P_{\mathrm {cap}}}{(1-v)(p_c-P_{\mathrm {cap}})}\frac{\delta r_c}{r_{N-1}}.\]
Перевод: pho.rs.
Похожие задачи
- Шарик в жидкости ВсОШ 2011/12, 9 кл.
- Течение между движущимися плоскостями Савченко, №4.4.1
- Течение под перепадом давления Савченко, №4.4.2
- Задача 4.4.3 Савченко, №4.4.3
- Задача 4.4.4 Савченко, №4.4.4
- Формула Пуазёйля Савченко, №4.4.5