«Блинчики» на воде

Для пункта 2.2 сравните проекции силы сопротивления на оси \(X\) и \(Z\) при одинаковом множителе \(\rho v^2 S\). Для пункта 2.3 найдите решение уравнения гармонического типа со смещённым положением равновесия.

Часть 1.

1.1. При ударе на камень действуют три силы: тяжести \(m\vec g\), нормальной реакции \(\vec N\) и трения \(\vec F_{\text{тр}}\). Сила трения в данном случае является силой трения скольжения и определяется по закону Кулона–Амонтона: \(F_{\text{тр}} = \mu N\).

На основании второго закона Ньютона для процесса соударения можно записать следующую систему: \[\frac{\Delta p_y}{\Delta t} = N - mg, \qquad \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = -\mu N. \qquad (1)\] Учитывая упругость удара и пренебрегая импульсом силы тяжести, перепишем (1) в виде: \[2mv_0\sin\alpha = N\Delta t, \qquad m\left(v_0\cos\alpha - v'_x\right) = \mu N\Delta t, \qquad (2)\] где \(v'\) — скорость тела после удара. Избавляясь от \(N\Delta t\), получим \(v'_x = v_0(1 - 2\mu\sin\alpha)\).

Теперь не составляет труда найти модуль конечной скорости и угол \(\beta\): \[v' = \sqrt{v'^2_x + v'^2_y} = v_0\left(1 - 2\mu\sin\alpha\right), \qquad \beta = \operatorname{arctg}\frac{v'_y}{v'_x} = \operatorname{arctg}\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 - 2\mu\operatorname{tg}\alpha}. \qquad (3)\] Отметим, что при \(\mu > \dfrac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\) шарик отскочит вертикально (\(\beta = \dfrac{\pi}{2}\)) с конечной скоростью \(v' = v_0\sin\alpha\).

Часть 2.

2.1. Проекция результирующей силы на ось \(Z\), действующей на камень, определяется соотношением: \[F_z = -Mg + \rho v^2 S\left(C_n\cos\beta - C_\tau\sin\beta\right). \qquad (4)\] Воспользуемся приближениями, указанными в условии задачи. Поскольку скорость камня меняется незначительно, в (4) заменим \(v\) на \(v_0\). Для удобства введём обозначение \(C_z = C_n\cos\beta - C_\tau\sin\beta\). Площадь поверхности камня, соприкасающаяся с водой, с учётом указанного в условии приближения, определяется уравнением: \[S = a\,|z|. \qquad (5)\] С учётом указанных замечаний перепишем (4) в виде: \[F_z = -Mg + \rho C_z v_0^2\,a\,|z|. \qquad (6)\] Воспользовавшись вторым законом Ньютона, получим: \[Ma_z = -Mg + \rho C_z v_0^2\,a\,|z|. \qquad (7)\] Раскрыв модуль (\(|z| = -z\)) и разделив уравнение (7) на массу камня, получим уравнение движения: \[a_z = -g - \frac{\rho C_z v_0^2 a}{M}\,z. \qquad (8)\] Проекция результирующей силы на ось \(X\), действующей на камень, определяется соотношением: \[F_x = -\rho v^2 S\left(C_n\sin\beta + C_\tau\cos\alpha\right). \qquad (9)\]

Сделав пренебрежения, аналогичные п. 2.1, и введя обозначение \(C_x = C_n\sin\beta + C_\tau\cos\beta\), пользуясь формулой (5), получим: \[Ma_x = \rho C_x v_0^2\,a\,z. \qquad (10)\] 2.2. Сравнивая проекции сил сопротивления воды в (7) и (10), получим \(F_{\text{вx}} = -\dfrac{C_x}{C_z}F_{\text{вz}}\). Таким образом: \[\mu = \frac{C_x}{C_z} = \frac{C_n\sin\beta + C_\tau\cos\beta}{C_n\cos\beta - C_\tau\sin\beta}.\] 2.3. Перепишем уравнение (8) в виде: \[\frac{d^2 z}{dt^2} + \omega_0^2\,z = -g, \qquad (11)\] где \(\omega_0^2 = \dfrac{\rho C_z v_0^2 a}{M}\). Очевидно, (11) — уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0\), при этом положение равновесия смещено относительно \(z = 0\). Будем искать решение уравнения (11) в виде: \[z(t) = z_0 + A\cos(\omega_0 t + \varphi), \qquad (12)\] где \(z_0\) имеет смысл координаты положения равновесия, а \(A\) — амплитуда колебаний. Первая и вторая производные по времени от (12) имеют смысл вертикальных компонент скорости и ускорения камня соответственно: \[\frac{dz}{dt} = -A\omega_0\sin(\omega_0 t + \varphi), \qquad \frac{d^2 z}{dt^2} = -A\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \varphi).\] Подставим \(z(t)\) в виде (12) в уравнение (11): \[-A\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \varphi) + z_0\omega_0^2 + A\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \varphi) = -g,\] откуда \(z_0 = -\dfrac{g}{\omega_0^2}\). Для нахождения амплитуды и начальной фазы колебаний воспользуемся начальными условиями: \(z(0) = 0\), \(\left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=0} = -v_0\sin\alpha\): \[0 = -\frac{g}{\omega_0^2} + A\cos\varphi, \qquad -v_0\sin\alpha = -A\omega_0\sin\varphi,\] откуда: \[A = \frac{g}{\omega_0^2}\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}}, \qquad \varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{\omega_0 v_0\sin\alpha}{g}\right). \qquad (13)\] Окончательно: \[z(t) = -\frac{g}{\omega_0^2} + \frac{g}{\omega_0^2}\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}}\,\cos\!\left(\omega_0 t + \operatorname{arctg}\frac{\omega_0 v_0\sin\alpha}{g}\right). \qquad (14)\] 2.4. Время соударения \(t_0\) является корнем уравнения \(z(t_0) = 0\). Одним из корней данного уравнения является начальный момент времени \(t = 0\), при котором фаза колебаний равна начальной фазе \(\varphi\). Ясно, что и в момент времени \(t_0\) косинус в выражении (14) будет принимать то же значение, что и в начальный момент. Тогда фаза колебаний в момент времени \(t_0\) равна \(2\pi - \varphi\): \[\omega_0 t_0 + \varphi = 2\pi - \varphi.\] Из последнего уравнения находим выражение для времени соударения: \[t_0 = \frac{2\pi - 2\varphi}{\omega_0}. \qquad (15)\] 2.5. Для указанных в условии параметров \(\omega_0 \approx 4{,}93\cdot10^2\ \text{с}^{-1}\), \(\varphi \approx 89{,}3^\circ\). Близость начальной фазы к \(90^\circ\) позволяет нам утверждать, что \(z_0 \ll A\), и движение камня в воде происходит приблизительно половину периода колебаний, т.е.: \[t_0 \approx \frac{\pi}{\omega_0} \approx 6{,}4\ \text{мс}. \qquad (16)\] Расстояние \(l_0\) с учётом малого изменения скорости камня находится как: \[l_0 \approx v_0\cos\alpha\, t_0 \approx 6{,}3\ \text{см}. \qquad (17)\] 2.6. Проекция результирующей силы на ось \(X\), действующей на камень, определяется соотношением (10). Подставляя сюда зависимость \(z(t)\) из (12), получим: \[F_x = \rho v_0^2\,a\,C_x\left(-\frac{g}{\omega_0^2} + \frac{g}{\omega_0^2}\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}}\,\cos\!\left(\omega_0 t + \operatorname{arctg}\frac{\omega_0 v_0\sin\alpha}{g}\right)\right). \qquad (18)\] Заметим, что для указанных параметров \(z_0 \ll A\) и \(\varphi \approx 90^\circ\), поэтому: \[F_x = -\frac{\rho g v_0^2 a C_x}{\omega_0^2}\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}}\,\sin\omega_0 t.\] Тогда уравнение движения камня вдоль оси \(X\) с учётом выражения для \(\omega_0\) имеет вид: \[M\frac{d^2 x}{dt^2} = -\frac{C_x}{C_z}\,Mg\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}}\,\sin\omega_0 t. \qquad (19)\] Для вычисления средней силы воспользуемся подсказкой в условии: \[\langle F_x\rangle = -\frac{C_x}{C_z}\,Mg\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}}\,\left\langle\sin\omega_0 t\right\rangle_{t\in[0,\pi/\omega_0]} = -\frac{2C_x}{\pi C_z}\,Mg\sqrt{1 + \frac{\omega_0^2 v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}} \approx -77{,}8\ \text{Н}.\] 2.7. Камень может не отскочить от воды по двум причинам: в процессе соударения камень полностью опустится под воду, после чего наша модель перестаёт адекватно описывать процесс соударения (камень при этом утонет); вторая причина — полная потеря горизонтальной компоненты импульса в процессе удара. Запишем данные условия в виде уравнений: \[\left|z_{\max}\right| < \frac{S_0}{a}, \qquad \left|\langle F_x\rangle\right| t_0 < Mv_0\cos\alpha. \qquad (20)\]

Для параметров, приведённых в условии, \(|z_{\min}| = 3{,}5\) мм, \(\dfrac{S_0}{a} = 1{,}7\) см, \(\left|\langle F_x\rangle\right| t_0 = 0{,}50\) кг·м/с, \(Mv_0\cos\alpha = 0{,}98\) кг·м/с. Таким образом, оба условия выполняются и камень отскакивает от воды.

Горизонтальную компоненту скорости после удара определяем как: \[v'_x = \frac{Mv_0\cos\alpha + \langle F_x\rangle t_0}{M} \approx 4{,}89\ \text{м/с}.\] Поскольку вертикальная компонента скорости не меняется по модулю, нетрудно найти конечную скорость и угол отскока \(\gamma\): \[v' = \sqrt{v'^2_x + v'^2_y} = \sqrt{v'^2_x + (v_0\sin\alpha)^2} \approx 5{,}19\ \text{м/с}, \qquad \gamma = \operatorname{arctg}\frac{v_0\sin\alpha}{v'_x} \approx 19{,}6^\circ. \qquad (21)\] 2.8. Вычислим коэффициент \(\mu\) из п. 2.2 и подставим в формулу (3), определяющую конечную скорость и угол отскока тела от твёрдой поверхности: \[\mu = \frac{C_n\sin\beta + C_\tau\cos\beta}{C_n\cos\beta - C_\tau\sin\beta} \approx 1{,}43,\] \[v' = v_0\left(1 - 2\mu\sin\alpha\right) \approx 5{,}03\ \text{м/с}, \qquad \gamma = \operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{tg}\alpha}{1 - 2\mu\operatorname{tg}\alpha}\right) \approx 19{,}6^\circ. \qquad (22)\] Сравнивая значения (21) и (22), можно заключить, что в данной модели вода действительно ведёт себя как твёрдое тело.