В данной задаче рассматриваются малые поперечные колебания гитарной струны с закреплёнными концами. Основная мода (тип, форма) колебания этой струны показана на рисунке (жирная линия — форма струны в начальный момент времени, тонкие линии — её форма в другие последовательные моменты времени). Для описания колебаний струны введём ось \(x\), которая совпадает с положением струны в состоянии равновесия. Координаты точек крепления струны \(\pm a\) (длина струны равна \(2a\)). Колебания струны описываются функцией \(u(x,t)\) — зависимостью отклонения точки струны с координатой \(x\) от времени. В состоянии равновесия струна натянута, сила натяжения равна \(T\). При малых колебаниях струны изменением силы натяжения струны можно пренебречь. Линейная плотность (масса единицы длины) струны равна \(\rho\). Часть 1. Бегущие и стоячие волны на струне. В данной части рассмотрим бесконечную струну, сила натяжения которой равна \(T\), а линейная плотность \(\rho\). По струне пробегают гармонические в

1.1) \(u_1 = U_0\cos(\omega t - kx)\), \(u_2 = U_0\cos(\omega t + kx)\), \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\); 1.2) \(u = 2U_0\cos\omega t\,\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\); 1.3) \(c = \dfrac{\lambda\omega}{2\pi}\); 2.1) \(u = U_0\cos\omega t\,\cos\dfrac{\pi x}{2a}\); 2.2) \(E = \dfrac{\rho a}{2}v_0^2\); 2.3) \(W = \dfrac{\pi^2T}{8a}u_0^2\); 2.4) \(\omega = \dfrac{\pi}{2a}\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\); 2.5) \(c = \sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\).

Гитарная струна — Белорусская 2021/22, 11 кл., задача 2

Гитарная струна
Белорусская 2021/22, 11 кл.
6/10
В данной задаче рассматриваются малые поперечные колебания гитарной струны с закреплёнными концами. Основная мода (тип, форма) колебания этой струны показана на рисунке (жирная линия — форма струны в начальный момент времени, тонкие линии — её форма в другие последовательные моменты времени). Для описания колебаний струны введём ось \(x\), которая совпадает с положением струны в состоянии равновесия. Координаты точек крепления струны \(\pm a\) (длина струны равна \(2a\)). Колебания струны описываются функцией \(u(x,t)\) — зависимостью отклонения точки струны с координатой \(x\) от времени.

В состоянии равновесия струна натянута, сила натяжения равна \(T\). При малых колебаниях струны изменением силы натяжения струны можно пренебречь. Линейная плотность (масса единицы длины) струны равна \(\rho\).

Часть 1. Бегущие и стоячие волны на струне.

В данной части рассмотрим бесконечную струну, сила натяжения которой равна \(T\), а линейная плотность \(\rho\). По струне пробегают гармонические волны с малой амплитудой \(U_0\). Круговая частота этих волн \(\omega\), длина волны \(\lambda\).

1.1 Запишите функции \(u_1(x,t)\) и \(u_2(x,t)\), описывающие волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси \(x\) соответственно.

1.2 Покажите, что при наложении этих волн возникает стоячая волна. Получите функцию \(u(x,t)\), описывающую эту стоячую волну.

1.3 Выразите скорость распространения бегущих волн через характеристики волны \(\omega\) и \(\lambda\).

Часть 2. Колебания закреплённой струны.

Рассмотрим колебания закреплённой струны, показанные на рисунке. Обозначим круговую частоту изображённого типа колебаний \(\omega\); в этой части вам необходимо выразить эту частоту через характеристики струны: её длину \(2a\), силу натяжения \(T\) и линейную плотность \(\rho\).

2.1 Запишите функцию \(u(x,t)\), описывающую рассматриваемый тип колебаний струны.

Обозначим отклонение центральной точки струны от положения равновесия \(u_0(t)\), а её скорость \(v_0(t)\).

2.2 Выразите кинетическую энергию \(E(t)\) движения всей струны через скорость её центра \(v_0(t)\).

2.3 Выразите потенциальную энергию деформации струны \(W(t)\) через координату центра струны \(u_0(t)\).

2.4 Выразите круговую частоту рассматриваемых колебаний \(\omega\) через параметры струны \(a\), \(\rho\), \(T\).

2.5 Получите формулу для скорости распространения бегущих волн по бесконечной струне.

Математические подсказки. 1) \(\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}\). 2) \(\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}\left(1 + \cos 2\alpha\right)\). 3) \(\sin^2\alpha = \dfrac{1}{2}\left(1 - \cos 2\alpha\right)\). 4) Длина изогнутой струны, показанной на рисунке, описывается приближённой формулой \(l = 2a\left(1 + \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\pi u_0}{2a}\right)^2\right)\), где \(u_0\) — отклонение центра струны.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Для пункта 1.2 сложите \(u_1\) и \(u_2\) и воспользуйтесь первой подсказкой. Для пункта 2.5 сравните стоячую волну пункта 2.1 с суммой двух бегущих волн.
Ответ
1.1) \(u_1 = U_0\cos(\omega t - kx)\), \(u_2 = U_0\cos(\omega t + kx)\), \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\); 1.2) \(u = 2U_0\cos\omega t\,\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\); 1.3) \(c = \dfrac{\lambda\omega}{2\pi}\); 2.1) \(u = U_0\cos\omega t\,\cos\dfrac{\pi x}{2a}\); 2.2) \(E = \dfrac{\rho a}{2}v_0^2\); 2.3) \(W = \dfrac{\pi^2T}{8a}u_0^2\); 2.4) \(\omega = \dfrac{\pi}{2a}\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\); 2.5) \(c = \sqrt{\dfrac{T}{\rho}}\).
Решение
Часть 1.

1.1. Функции, описывающие волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси \(x\), имеют вид: \[u_1(x,t) = U_0\cos(\omega t - kx), \qquad u_2(x,t) = U_0\cos(\omega t + kx), \qquad (1)\] где \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\) — волновое число.

1.2. Результатом сложения этих волн является волна, описываемая функцией: \[u(x,t) = U_0\cos(\omega t - kx) + U_0\cos(\omega t + kx) = 2U_0\cos(\omega t)\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right). \qquad (2)\] Эта функция описывает стоячую волну.

1.3. Скорость волны может быть представлена в виде: \[c = \lambda\nu = \frac{\lambda\omega}{2\pi}. \qquad (3)\]

Часть 2.

2.1. Функция, описывающая данный тип колебаний, имеет вид: \[u(x,t) = U_0\cos(\omega t)\cos\left(\frac{\pi}{2a}x\right). \qquad (4)\]

2.2. Если зависимость смещения точек струны от времени имеет вид (4), то зависимость их скоростей от времени задаётся функцией: \[v(x,t) = -U_0\omega\sin(\omega t)\cos\left(\frac{\pi}{2a}x\right) = v_0\cos\left(\frac{\pi}{2a}x\right). \qquad (5)\] Выделим на струне небольшой участок длиной \(\Delta x\), положение которого определяется координатой \(x\). Кинетическая энергия этой малой части струны равна: \[\Delta E = \frac{\rho\,\Delta x}{2}\,v^2(x) = \frac{\rho\,\Delta x}{2}\,v_0^2\cos^2\left(\frac{\pi}{2a}x\right). \qquad (6)\] Кинетическая энергия всей струны рассчитывается как сумма кинетических энергий всех её участков: \[E = \sum_i \frac{\rho\,\Delta x}{2}\,v_0^2\cos^2\left(\frac{\pi}{2a}x_i\right) = \frac{\rho v_0^2}{2}\sum_i \frac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\frac{\pi}{a}x_i\right)\right)\Delta x = \frac{\rho v_0^2}{2}\,a. \qquad (7)\] При вычислении суммы учтено, что сумма длин всех участков равна длине струны: \(\sum_i \Delta x = 2a\). Второе слагаемое обращается в ноль, так как в рассматриваемом интервале \(x\) косинус принимает как положительные, так и отрицательные значения.

2.3. Так как сила натяжения при изменении формы струны рекомендуется пренебречь, то потенциальная энергия изогнутой струны равна работе по растяжению струны: \[W = T\Delta l = T. \qquad (8)\]

Используя формулу для длины струны, приведённую в «Математической подсказке», получаем выражение для потенциальной энергии струны: \[W = T\Delta l = \frac{\pi^2 T}{8a}\,u_0^2. \qquad (9)\]

2.4. Запишем уравнение закона сохранения механической энергии для всей струны: \[\frac{\rho a}{2}\,v_0^2 + \frac{\pi^2 T}{8a}\,u_0^2 = \text{const}. \qquad (10)\] Это уравнение есть уравнение гармонических колебаний с частотой: \[\omega = \sqrt{\frac{\pi^2 T/(8a)}{\rho a/2}} = \frac{\pi}{2a}\sqrt{\frac{T}{\rho}}. \qquad (11)\]

2.5. Рассматриваемое колебание можно рассматривать как стоячую волну, описываемую функцией (4). Сравнивая эту функцию с функцией (2), находим, что данное колебание есть сумма двух бегущих волн с длиной волны: \[\lambda = 4a. \qquad (12)\] Поэтому можно использовать формулу (3) для скорости бегущей волны, в результате чего получим: \[c = \frac{\lambda\omega}{2\pi} = \frac{4a\cdot\dfrac{\pi}{2a}\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}}{2\pi} = \sqrt{\frac{T}{\rho}}. \qquad (13)\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Гитарная струна

Гитарная струна

Похожие задачи