Задачи › Законы Кеплера, орбиты

LIGO-GW150914

  1. LIGO-GW150914

    IPhO 2017/18, 11 кл.
    6/10

    В 2015 году гравитационно-волновая лаборатория LIGO впервые в истории зарегистрировала гравитационные волны (GW). Это событие, получившее название GW150914, было вызвано двумя черными дырами, которые двигались по квази-круговым орбитам. В этой задаче вам предстоит оценить некоторые параметры этой системы, по данным зарегистрированного сигнала.

    Часть A. Ньютоновские (консервативные) орбиты (3 балла)

    A1. Рассмотрим систему из двух звезд массами \(M_1, M_2\), находящихся, соответственно, в точках \(\vec r_1, \vec r_2\), относительно центра масс системы, т.е. \[M_1\vec r_1+M_2\vec r_2=0.\] Звезды изолированы от всех остальных объектов Вселенной и движутся с нерелятивистскими скоростями. Из законов Ньютона можно получить ускорение массы \(M_1\): \[\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=-\alpha\frac{\vec r_1}{r^n_1},\] где \(r_1=|\vec r_1|, r_2=|\vec r_2|\). Найдите \(n\in N\) и \(\alpha=\alpha(G,M_1,M_2),\) где \(G\approx 6.67\cdot 10^{-11}~Н\cdot м^2/кг\) – гравитационная постоянная.

    A2. Полная механическая энергия системы двух тел, движущихся по круговым орбитам, задается формулой: \[E=A(\mu, \Omega, L)-G\frac{M\mu}{L},\] где \[\mu\equiv\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}, \quad M\equiv M_1+M_2,\] приведенная масса и полная масса системы соответственно, \(\Omega\) – угловая скорость, а \(L\) – расстояние между двумя массами \(L=r_1+r_2\). Получите формулу для \(A(\mu, \Omega, L)\).

    A3. Уравнение\[E=A(\mu, \Omega, L)-G\dfrac{M\mu}{L}\]можно упростить:\[E=\beta G\dfrac{M\mu}{L}.\]Найдите \(\beta\).

    Часть B. Введение релятивистского затухания (7 баллов)

    Теория гравитации (общая теория относительности), окончательно сформулированная Эйнштейном в 1915 году, предсказывает, что гравитационное взаимодействие распространяется со скоростью света. Переносчиком этого взаимодействия являются гравитационные волны. Гравитационные волны испускаются любой ускоряющейся массой, что выражается в потере ею энергии.

    Рассмотрим систему из двух изолированных точечных частиц. Эйнштейн доказал, что для достаточно малых скоростей испускаемые гравитационные волны:

    1. имеют частоту вдвое большую, чем частота орбитального вращения, и

    2. их можно охарактеризовать параметром интенсивности, т.е. испускаемой мощностью \(\mathcal P\), которая, согласно формуле Эйнштейна, равна \[\mathcal P=\frac{G}{5 c^5} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3\left(\frac{\mathrm{d}^3 Q_{i j}}{\mathrm{~d} t^3}\right)\left(\frac{\mathrm{d}^3 Q_{i j}}{\mathrm{~d} t^3}\right).\]

    Здесь, \(c\approx 3\cdot 10^8~м/с\) – скорость света. Для системы из двух точечных частиц, вращающихся в плоскости \(xy\), величины \(Q_{ij}\) даны в следующей таблице (\(i,j\) – номер строки и столбца, соответственно) \[\begin{aligned}&Q_{11}=\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(2 x_A^2-y_A^2\right), \qquad &Q_{22}=\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(2 y_A^2-x_A^2\right), \\&Q_{33}=-\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(x_A^2+y_A^2\right),\qquad &Q_{12}=Q_{21}=\sum_{A=1}^2 M_A x_A y_A,\end{aligned}\]и \(Q_{ij}=0\) для всех иных комбинаций \(i\) и \(j\). Здесь \((x_A,y_A)\) положение массы \(A\) в системе центра масс.

    B1. Для круговых орбит, описанных в пункте A2, компоненты \(Q_{ij}\) зависят от времени \(t\) следующим образом: \[Q_{ii}=\frac{\mu L^2}{2}(a_i+b_i\cos kt), Q_{ij} \stackrel{i\ne j}{=}\frac{\mu L^2}{2}c_{ij}\sin kt.\] Найдите \(k\). Ответ выразите через \(\Omega\).

    Найдите значения чисел \(a_i\), \(b_i\), \(c_{ij}\).

    B2. Покажите, что для этой системы мощность \(\mathcal P\), излучаемая в виде гравитационных волн, равна: \[\mathcal P=\xi \frac{G}{c^5} \mu^2 L^4 \Omega^6.\] Найдите численное значение \(\xi\).

    Примечание. Если Вам не удалось получить значение \(\xi\), используйте в дальнейшем \(\xi= 6.4\).

    B3. Если бы гравитационных волн не существовало, оба тела вращались бы по круговым орбитам бесконечно долго. Однако, излучение гравитационных волн приводит к потере энергии и, следовательно, к медленному уменьшению радиусов орбит.

    Покажите, что изменение угловой скорости со временем \({\mathrm d\Omega}/{\mathrm dt}\) описывается формулой \[\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t}\right)^3=(3 \xi)^3 \frac{\Omega^{11}}{c^{15}}\left(G M_{\mathrm{c}}\right)^5,\] где \(M_c\) – так называемая «chirp mass». Выразите \(M_c\) через \(M\) и \(\mu\). Эта масса определяет скорость, с которой увеличивается частота вращения при уменьшении радиуса орбиты.

    Примечание. Слово «chirp» в переводе означает «чириканье», «щебетанье». Звук возрастающей частоты, создаваемый маленькими птицами.

    B4. Пользуясь предыдущими данными, найдите связь угловой частоты \(\Omega\) с частотой гравитационных волн \(f_{\mathrm{GW}}\).

    Для любой гладкой функции \(F(t)\) и \(a\ne1\) \[\frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} t}=\chi F(t)^a \implies F(t)^{1-a}=\chi(1-a)\left(t-t_0\right) ,\] где \(\chi\) – некоторая постоянная, а \(t_0\) – произвольная константа интегрирования.

    Покажите, что из уравнения\[\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t}\right)^3=(3 \xi)^3 \frac{\Omega^{11}}{c^{15}}\left(G M_{\mathrm{c}}\right)^5\] следует, что частота гравитационных волн равна \[f_{\mathrm{GW}}^{-8 / 3}=8 \pi^{8 / 3} \xi\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{(2 / 3)+p}\left(t_0-t\right)^{2-p} .\] Определите постоянную \(p\).

    14-го сентября 2015 г. LIGO зарегистрировал событие GW150914, показанное на рисунке. Детектор LIGO представляет собой Г-образную систему, состоящую из двух 4-км плеч. Плечи детектора линейно реагируют на проходящую гравитационную волну, так что сигнал воспроизводит волну.

    В данном случае волна была создана парой черных дыр, движущихся по квази-круговым орбитам. Потери энергии за счет излучения приводят к уменьшению радиусов орбит, в конце концов черные дыры сталкиваются. Пик, следующий за точкой \(\mathrm D\) на рисунке, примерно соответствует моменту столкновения.

    Рисунок

    Рис. 1. Деформация (относительное изменение длины) каждого плеча детектора \(\mathrm H1\) в системе LIGO в зависимости от времени. Точки \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\) соответствуют моментам времени \(t=0.00\), \(0.009\), \(0.034\), \(0.040\) секунд, соответственно

    B5. По данным рисунка оцените \(f_{\mathrm{GW}}(t)\) для следующих двух моментов времени\[t_{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{t_{\mathrm{B}}+t_{\mathrm{A}}}{2} \quad \text { и } \quad t_{\overline{\mathrm{CD}}}=\frac{t_{\mathrm{D}}+t_{\mathrm{C}}}{2} .\]Пусть формула\[f_{\mathrm{GW}}^{-8 / 3}=8 \pi^{8 / 3} \xi\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{(2 / 3)+p}\left(t_0-t\right)^{2-p}\] справедлива в течении всего процесса сближения черных дыр вплоть до столкновения. Массы черных дыр одинаковы. Оцените величину chirp mass \(M_c\), а также полную массу системы \(M\). Ответ дайте в массах Солнца \(M_{\odot}\approx 2\cdot 10^{30}~ кг\).

    B6. Оцените расстояние между двумя объектами в момент времени \(t_{\overline{\mathrm{CD}}}\).

    Оцените максимальный размер каждого объекта \(R_{\mathrm {max}}\).

    Найдите величину \(R_{\odot}/R_{\mathrm {max}}\), тем самым, сравните этот размер с радиусом Солнца \(R_{\odot}\approx 7\cdot 10^5~км\).

    Оцените линейную скорость каждого объекта на орбите в этот момент времени \(v_{\mathrm{col}}\) и сравните ее со скоростью света \(v_{\mathrm{col}}/c\).

    Придите к выводу, что сталкивающиеся объекты чрезвычайно компактны и движутся действительно очень быстро! WOW, look at you!

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    A1: \[n=3, \alpha=\frac{GM_2^3}{(M_1+M_2)^2}\];  A2: \[A(\mu,\Omega, L)=\frac12\mu L^2\Omega^2\];  A3: \[\beta=-\frac12\];  B1: \[k=2\Omega, a_1=a_2=\frac13, a_3=-\frac23, b_1=1, b_2= -1, b_3=0, c_{12}=с_{21}=1, c_{ij}\stackrel {\mathrm {otherwise}}{=}0.\];  B2: \[\xi=\frac{32}{5}.\];  B3: \[M_c=(\mu^3M^2)^{1/5}.\];  B4: \[p=1.\];  B5: \[M_c\simeq 30\times M_\odot, M\simeq 69\times M_\odot.\]

    Решение

    A1. Запишем второй закон Ньютона для массы \(M_1\):\[M_1\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=G\frac{M_1M_2}{|\vec r_2-\vec r_1|^2}\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}.\qquad(1)\]В системе отсчёта центра масс:\[\vec r_2=-\frac{M_1}{M_2}\vec r_1,\qquad(2)\]что при подстановке в (1) даёт\[\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=-\frac{GM_2^3}{(M_1+M_2)^2r_1^2}\frac{\vec r_1}{r_1}.\qquad(3)\]

    Ответ:

    \[n=3, \alpha=\frac{GM_2^3}{(M_1+M_2)^2}\]

    A2. Полная механическая энергия системы – это сумма кинетических энергий двух тел и потенциальной энергии их взаимодействия. Скорости тел при круговом движении:\[|\vec v_1|=r_1\Omega,\quad|\vec v_2|=r_2\Omega,\qquad(4)\]откуда полная энергия:\[E=\frac12\left[M_1r_1^2+M_2r_2^2\right]\Omega^2-\frac{GM_1M_2}L.\qquad(5)\]Поскольку\[(M_1r_1-M_2r_2)^2=0\implies M_1r_1^2+M_2r_2^2=\mu L^2.\qquad(6),\]то\[E=\frac12\mu L^2\Omega^2-G\frac{M\mu}L.\qquad(7)\]

    Ответ:

    \[A(\mu,\Omega, L)=\frac12\mu L^2\Omega^2\]

    A3. Выражение для энергии выглядит идентично для системы, где масса \(\mu\) движется по круговой орбите радиуса \(L\) вокруг покоящейся массы \(M\) с угловой скоростью \(\Omega\). Если в такой системе приравнять гравитационное и центростремительное ускорения:\[G\frac M{L^2}=\Omega^2L,\qquad(8)\]то получится третий закон Кеплера (для круговых орбит). Тогда из (7):\[E=-\frac12 G\frac{M\mu}L.\qquad(9)\]

    Ответ:

    \[\beta=-\frac12\]

    B1. Выпишем явно соотношения между декартовыми и полярными координатами масс:\[(x_1,y_1)=r_1 (\cos\Omega t,\sin\Omega t),\qquad (x_2,y_2)=-r_2 (\cos\Omega t,\sin\Omega t).\qquad(10)\]Отсюда:\[Q_{i j}=\frac{M_1 r_1^2+M_2 r_2^2}{2}\left(\begin{array}{ccc} \frac{4}{3} \cos ^2(\Omega t)-\frac{2}{3} \sin ^2(\Omega t) & 2 \sin (\Omega t) \cos (\Omega t) & 0 \\ 2 \sin (\Omega t) \cos (\Omega t) & \frac{4}{3} \sin ^2(\Omega t)-\frac{2}{3} \cos ^2(\Omega t) & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} \end{array}\right)\qquad(11)\]

    Упростим результат с помощью (6) и тригонометрических соотношений:\[Q_{i j}=\frac{\mu L^2}{2}\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{3}+\cos 2 \Omega t & \sin 2 \Omega t & 0 \\ \sin 2 \Omega t & \frac{1}{3}-\cos 2 \Omega t & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{3} \end{array}\right) . \qquad(12)\]

    Ответ:

    \[k=2\Omega, a_1=a_2=\frac13, a_3=-\frac23, b_1=1, b_2= -1, b_3=0, c_{12}=с_{21}=1, c_{ij}\stackrel {\mathrm {otherwise}}{=}0.\]

    B2. Возьмём третьи производные:

    \[\frac{\mathrm{d}^3 Q_{i j}}{\mathrm{ d} t^3}=4 \Omega^3 \mu L^2\left(\begin{array}{ccc} \sin 2 \Omega t & -\cos 2 \Omega t & 0 \\ -\cos 2 \Omega t & -\sin 2 \Omega t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \qquad(13)\]

    и просуммируем:

    \[\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{ d} t}=\frac{G}{5 c^5}\left(4 \Omega^3 \mu L^2\right)^2\left[2 \sin ^2(2 \Omega t)+2 \cos ^2(2 \Omega t)\right]=\frac{32}{5} \frac{G}{c^5} \mu^2 L^4 \Omega^6 .\qquad(14)\]

    Ответ:

    \[\xi=\frac{32}{5}.\]

    B3. Если изменение угловой скорости происходит медленно, можно считать, что орбиты с хорошей точностью остаются круговыми.

    Для начала продифференцируем по времени выражение (9):\[\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=\frac{GM\mu}{2L^2}\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}.\qquad(15)\]Так как потеря энергии происходит за счёт гравитационных волн, производная энергии равна мощность излучения гравитационных волн (14) со знаком \(-\):\[\frac{GM\mu}{2L^2}\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=-\frac{32}5\frac G{c^5}\mu^2L^4\Omega^6.\qquad(16)\]Чтобы перейти от \(L\) и \(\dot L\) к \(\Omega\) и \(\dot\Omega\), воспользуемся третьим законом Кеплера (8), откуда:\[L^3=G\frac M{\Omega^2},\qquad \frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=-\frac23\frac L\Omega\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dt}.\qquad(17)\]Подставляя в (16), получаем ответ:\[\left[\frac{\mathrm d \Omega}{\mathrm dt}\right]^3=\left[\frac{96}5\right]^3\frac{\Omega^{11}}{c^{15}}G^5\mu^3M^2\equiv\left[\frac{96}5\right]^3\frac{\Omega^{11}}{c^{15}}(GM_c)^5.\qquad(18)\]

    Ответ:

    \[M_c=(\mu^3M^2)^{1/5}.\]

    B4. Частота обращения \(f=\Omega/2\pi\). Поскольку частота гравитационных волн в два раза больше, то\[f_{GW}=\Omega/\pi\qquad(19).\]Формула (10) преобразуется к виду\[\frac{\mathrm d\Omega}{\mathrm dt}=\chi\Omega^{11/3},\qquad\chi\equiv\frac{96}5\frac{(GM_c)^{5/3}}{c^5}.\qquad(20)\]Отсюда получаем:\[\Omega(t)^{-8/3}=\frac83\chi(t_0-t).\qquad(21)\]Если подставить сюда (20) и выражение для \(\chi\):\[f_{GW}^{-8/3}=\frac{(8\pi)^{8/3}}5\left[\frac{GM_c}{c^3}\right]^{5/3}(t_0-t).\qquad(22)\]

    Ответ:

    \[p=1.\]

    B5. Возьмём \(\delta t\) между соседними точками на графике в качестве полупериодов. Частота гравитационных волн будет вычисляться как \(f_{GW}=1/2\Delta t\). Вычислим частоту для точек, приведённых в условии:

    \(t_{\overline{AB}}\)\(t_{\overline{CD}}\)
    \(t,~с\)\(0.0045\)\(0.037\)
    \(f_{GW},~Гц\)\((2\cdot0.009)^{-1}\)\((2\times0.006)^{-1}\)

    Это даёт две пары значений \((f_{GW},t)\) для двух неизвестных \((t_0,M_c)\). Подставив \(t_{\overline{AB}}\) и \(t_{\overline{CD}}\) в (22) и разделив уравнения друг на друга, имеем:\[t_0=\frac{At_{\overline{CD}}-t_{\overline{AB}}}{A-1},\qquad A\equiv\left[\frac{f_{GW}(t_{\overline{AB}})}{f_{GW}(t_{\overline{CD}})}\right]^{-8/3}.\qquad(23)\]Численно \(A\approx2.95\) и \(t_0\approx0.054~с\). Теперь можно найти \(M_c\), записав (22) для момента времени \(t_{\overline{AB}}\) или \(t_{\overline{AB}}\). Чирпированная масса будет равна:\[M_c\approx6\cdot10^{31}~кг\approx30M_\odot,\qquad(24)\]а полная масса \(M\) – \[M=4^{3/5}M_c\approx 69M_\odot.\qquad(25)\]Стоит отметить, что этот результат очень близок к наилучшим оценкам, полученным с помощью общей теории относительности! И это несмотря на небольшое различие масс чёрных дыр и неприменимость теории в последние мгновения перед столкновением!

    Ответ:

    \[M_c\simeq 30\times M_\odot, M\simeq 69\times M_\odot.\]

    B6. Согласно закону Кеплера (8) \(L=\sqrt[3]{GM/\Omega^2}\). Для нахождения угловой скорости орбитального движения воспользуемся (19):\[\Omega_{\overline{CD}}\approx2.6\cdot10^{2}~рад/с.\qquad(26)\]Тогда, зная полную массу (25), можно найти расстояние:\[L\approx5\cdot10^2~км.\qquad(27)\]Таким образом, максимальный размер объектов не может превышать \(R_{\max}\approx250~км\), т.е.\[\frac{R_\odot}{R_{\max}}\approx 3\cdot10^3.\qquad(28)\]Наконец, скорость движения по орбите будет равна:\[v_\mathrm {col}=\frac L2\Omega\approx7\cdot10^4~км/с\] – это более \(1/5\) скорости света!

    Ответ:

    \[L_{\mathrm{collision}}\sim5\times10^2~км, \frac{R_\odot}{R_{\mathrm{max}}}\sim3\times10^3,\frac{v_{\mathrm{col}}}{c}\sim0.2.\]

    Перевод: pho.rs.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх