Плот в расширяющемся канале

Из постоянства расхода воды найдите скорость воды как функцию координаты \(x\); ускорение плота — производная скорости по времени через \(x(t)\), время — интеграл от \(dx/v\).

Ось \(x\) направим вдоль канала от начала расширения. Половина ширины канала \(y(x)=x\,\mathrm{tg}\,\alpha+\dfrac{y_0}{2}\). Постоянство расхода воды (стационарное ламинарное течение): \(S(x)\,v(x)=S_0v_0\), где \(S(x)=2y(x)h\), \(S_0=y_0h\). Отсюда \[v(x)=\frac{y_0v_0}{2y(x)}=\frac{y_0v_0}{2x\,\mathrm{tg}\,\alpha+y_0}.\] Плот движется со скоростью воды, поэтому \(a=\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}\): \[\frac{dv}{dx}=-\frac{2y_0v_0\,\mathrm{tg}\,\alpha}{(2x\,\mathrm{tg}\,\alpha+y_0)^2}, \qquad a=-\frac{2y_0^2v_0^2\,\mathrm{tg}\,\alpha}{(2x\,\mathrm{tg}\,\alpha+y_0)^3}.\] Для времени: \(\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{1}{v(x)}=\dfrac{2x\,\mathrm{tg}\,\alpha}{y_0v_0}+\dfrac{1}{v_0}\), откуда \(t(x)=\dfrac{x^2\,\mathrm{tg}\,\alpha}{y_0v_0}+\dfrac{x}{v_0}\) (при \(t=0\) плот в \(x=0\)). При \(x=L\): \(t=\dfrac{L^2\,\mathrm{tg}\,\alpha}{y_0v_0}+\dfrac{L}{v_0}\).