Платформа

Пока нет проскальзывания у стены, конструкция жёсткая. Выясните, в какую сторону может поехать платформа, и запишите равновесие сил и моментов относительно точек \(A\) и \(B\).

Пока нет проскальзывания между стеной и концом платформы, конструкция жёсткая. Значит, движение конструкции связано исключительно с проскальзыванием в точке \(A\). Чтобы понять, какой из вариантов проскальзывания реализуется и при каком условии, запишем условия равновесия системы.

На платформу действуют: \(m\vec g\) — сила тяжести платформы и вес рабочего (они совпадают по величине); \(\vec N\) — сила реакции стены; \(\vec F_1\) — сила трения со стороны стены; \(\vec F_2\) — сила реакции шарнира (компоненты \(F_{2x}\) и \(F_{2y}\)). Сила \(\vec F_2\) направлена вдоль лестницы \(BC\), иначе противодействующая ей сила вращала бы лестницу относительно точки \(C\). Значит, \[F_{2y}=F_2\sin 45^\circ=F_2\cos 45^\circ=F_{2x}. \qquad (5)\] Поскольку платформа находится в равновесии: \[N=F_{2x}, \qquad (6)\qquad F_1+F_{2y}=2mg, \qquad (7)\] из (5) и (7) следует \[F_1+N=2mg. \qquad (8)\] Также относительно точек \(A\) и \(B\) выполняется правило рычага: \[mg(b-d)+\frac{mgb}{2}=F_{2y}\,b=Nb, \qquad (9)\qquad mgd+\frac{mgb}{2}=F_1 b. \qquad (10)\] Из последнего соотношения следует, что \(\vec F_1\) может быть направлена только вверх. Значит, если произойдёт проскальзывание, то левый край платформы будет двигаться вниз, то есть реализуется только вариант с проскальзыванием вниз. Вычитание (9) и (10) с учётом (8) даёт \[\frac{1-2d}{b}=\frac{N-F_1}{mg},\qquad \frac{d}{b}=\frac{3F_1-N}{2(N+F_1)}=\frac{3}{2}-\frac{2}{1+F_1/N}. \qquad (11)\] Максимальному отношению \(F_1/N\) (оно равно \(\mu=0{,}6\), так как это сухое трение) соответствует максимальное отношение \(d/b\): \[\left(\frac{d}{b}\right)_{max}=\frac{3}{2}-\frac{2}{1+\mu}=\frac{3}{2}-\frac{2}{1{,}6}=0{,}25. \qquad (12)\] Это и есть критическая точка. При \(d>d_{max}\) силы трения не хватит для удержания платформы, и конструкция обрушится. При \(d_{max}\ge d\ge 0\) сила трения \(F_1\le\mu N\), и обрушения не произойдёт.