Лёд и соль

Сначала найдите температуру после доливания пресной воды из теплового баланса воды. Затем сравните, сколько тепла нужно льду, чтобы прогреться до новой температуры замерзания, и сколько выделится при намерзании воды.

Вначале система была в тепловом равновесии с находящимся в ней льдом, значит, начальная температура равна температуре замерзания солёной воды. По условию \(w_0=3\%\): \[T_{з0}=-\alpha w_0=-1{,}92^\circ\text{C}.\] После добавления 1 л пресной воды массовая доля соли уменьшилась в два раза и стала \(w_1=1{,}5\%\). Температура замерзания этой воды \[T_{з1}=-\alpha w_1=\frac{T_{з0}}{2}=-0{,}96^\circ\text{C}.\] Теплоёмкости солёной и пресной воды равны \(c_в\), плотность их одинакова, значит, масса 1 л равна \(m_в=1\) кг. Из уравнения теплового баланса воды \[c_в m_в (T_1-0^\circ\text{C})+c_в m_в (T_1-T_{з0})=0\] получаем \(T_1=T_{з0}/2=-0{,}96^\circ\)C \(=T_{з1}\). После перемешивания температура солёной воды увеличилась, но оказалась равной температуре её замерзания, потому что массовая доля соли уменьшилась.

Для наступления нового теплового равновесия температура льда должна подняться от \(T_{з0}\) до новой температуры замерзания воды. Энергия на этот процесс будет получена за счёт того, что на лёд намёрзнет немного воды. Из уравнения теплового баланса \[c_л m_л (T_{з1}-T_{з0})=\lambda\,\Delta m \quad\Rightarrow\quad \Delta m\approx 5{,}82~\text{г}.\] Возможно решить задачу и более точно, так как доля соли меняется из-за намерзания воды. Так как удельная теплота плавления льда много больше его удельной теплоёмкости, намёрзшая масса воды мала, и в простом решении её влияние не учитывается. Если же учесть изменение температуры замерзания, доля соли станет \(w_2=w_1\cdot\dfrac{2m_в}{2m_в-\Delta m}\), и баланс \[c_в\,2m_в\,(T_{32}-T_{31})+c_л m_л (T_{32}-T_{30})=\lambda\,\Delta m\] с \(T_{32}=T_{31}\cdot\dfrac{2m_в}{2m_в-\Delta m}\) даёт квадратное уравнение, один корень которого \(\Delta m=2{,}03\) кг заведомо неверен, а второй — \(\Delta m=5{,}73\) г, что в пределах погрешностей совпадает с ответом простого решения.