Квадраты

Сопротивление квадрата не зависит от его стороны. Пропустите через схему Глюка ток, считая токи через квадраты пропорциональными их сторонам, и проверьте законы Кирхгофа.

Сперва восстановим стороны всех квадратов, на которые были разрезаны пластины (рис. 1 и 2 в условии; стороны указаны в сантиметрах на рисунке решения). Сопротивление квадрата со стороной \(a\) между двумя противоположными сторонами: \(r=\rho\dfrac{l}{S}=\dfrac{\rho a}{a d}=\dfrac{\rho}{d}\), то есть не зависит от стороны квадрата, где \(d\) — толщина пластины, \(\rho\) — её удельное сопротивление.

Рассмотрим всю схему целиком (например, схему Глюка). Приложим напряжение \(U\) к контактам. Полный ток обозначим \(I\), ток через квадрат со стороной \(a\) — \(I_a\), а падение напряжения на нём — \(U_a=I_a r\). Во-первых, суммарный ток через любое горизонтальное сечение пластины равен \(I\), что эквивалентно первому правилу Кирхгофа; во-вторых, суммарное падение напряжения по любой вертикальной линии равно \(U\), что эквивалентно второму правилу Кирхгофа. Эти условия в терминах токов дают, например, \(I_{18}+I_{14}=U/r\), \(I_{18}+I_4+I_{10}=U/r\) и т.д.

При внимательном взгляде на индексы можно заметить, что распределение токов, при котором сила тока через квадрат пропорциональна его стороне \(I_a=a\,I_1\), удовлетворяет всем условиям. Ясно, что это решение единственно. Тогда сопротивление всей схемы Глюка \[R_Г=\frac{U}{I}=\frac{U/r}{I}\,r=\frac{18I_1+14I_1}{18I_1+15I_1}\,r=\frac{32}{33}\,r=\frac{AB}{BC}\,r.\] Для схемы Бага аналогичные рассуждения дают \(R_Б=\dfrac{BC}{AB}\,r\). Их отношение \[\frac{R_Г}{R_Б}=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\left(\frac{32}{33}\right)^2=\frac{1024}{1089}.\]