Верёвка

Вертикальная часть разгоняется сильнее наклонной, поэтому между ними действует натяжение в точке перегиба \(A\). Найдите силу натяжения в этой точке из уравнений движения обеих частей.

Проведём качественный разбор задачи: вертикальная часть верёвки сама по себе двигалась бы с ускорением \(g\), в то время как наклонная — с меньшим ускорением \(g\sin\alpha\). Между ними должна возникать сила, которая будет «разгонять» наклонную и «притормаживать» вертикальную части. Этой силой и служит сила натяжения нити в точке \(A\). Отметим, что на рисунке силы, равные по модулю \(T_A\), действующие на вертикальную и наклонную части верёвки, направлены не противоположно, как можно было бы ожидать из третьего закона Ньютона; оставим этот маленький парадокс читателю для размышления.

Для ответа на вопрос о максимальной силе натяжения рассмотрим отрезок \(on\) на наклонной части верёвки длины \(x\). Если обозначить массу остальной части как \(\Delta m(x)\), второй закон Ньютона в проекции на ось \(\vec x_1\) даёт \[\Delta m(x)\,a=T(x)+\Delta m(x)\,g\sin\alpha,\quad\text{или}\quad T(x)=\Delta m(x)\,(a-g\sin\alpha),\] где \(a\) — ускорение нити в целом, \(T(x)\) — сила натяжения в точке \(n\). Отметим, что \(a>g\sin\alpha\). По мере роста \(x\) (и \(\Delta m\)) сила натяжения растёт и достигает максимума в точке \(A\). Для вертикальной части (учитывая, что \(a<g\)) несложно показать, что при движении от точки \(A\) к нижней части верёвки (точка \(B\)) сила натяжения убывает. Таким образом, максимальное значение силы натяжения достигается в точке \(A\).

Запишем второй закон Ньютона для отрезка \(oA\) в проекции на ось \(\vec x_1\) и для отрезка верёвки \(AB\) в проекции на ось \(\vec y\). Проекции ускорения на соответствующие оси равны \(a\): \[\frac{2}{3}ma=\frac{2}{3}mg\sin\alpha+T_A, \qquad (2)\] \[\frac{1}{3}ma=\frac{1}{3}mg\sin\alpha-T_A. \qquad (3)\] Решая эту систему относительно \(T_A\), получаем \[T_A=\frac{2}{9}\,mg\,(1-\sin\alpha). \qquad (4)\]