Бусины

Не различайте бусины: при упругом обмене скоростями можно считать, что они проходят друг сквозь друга. Тогда каждая «псевдобусина» движется независимо, а столкновения пересчитываются по графику.

Поскольку при абсолютно упругом ударе бусины обмениваются скоростями, а размерами бусин можно пренебречь, при рассмотрении всей системы целиком (не различая бусины) можно считать, что они проходят друг сквозь друга, не взаимодействуя. Тогда движение каждой такой «псевдобусины» не зависит от остальных и представляет собой колебания (падение, отскок, подъём, остановка и т.д.) с периодом \[T=T_{\text{падение}}+T_{\text{подъём}}=2T_{\text{падение}}=2\sqrt{\frac{2h_0}{g}},\] где \(h_0\) — исходная высота бусины. Поскольку исходные высоты бусин относятся как \(1:4:16\), периоды колебаний псевдобусин относятся как корни высот, то есть \(1:2:4\). Строим график движения псевдобусин (рис. 1).

Настоящие бусины отличаются от псевдобусин тем, что не меняют своего порядка на спице. Перестроим график в соответствии с этим условием (рис. 2). Количество столкновений теперь находится подсчётом по графику: верхняя и средняя бусины столкнулись \(2\) раза, средняя и нижняя — \(6\) раз, нижняя и пол — \(7\) раз. Всего \(15\) столкновений.