Три заряда и точка над треугольником

Из симметрии поле направлено вдоль прямой, проходящей через центр треугольника и искомую точку. Найдите проекцию поля каждого заряда на эту прямую.

Искомая точка — вершина правильного тетраэдра с основанием в треугольнике зарядов. Расстояние от каждого заряда до центра основания \(L = \dfrac{a}{\sqrt3}\). Высота точки над основанием \(h = \sqrt{x^2 - L^2}\), где \(x = \dfrac{3}{4}a\).

Поле каждого заряда направлено от него, его проекция на вертикальную ось равна \(E_1\cdot\dfrac{h}{x}\), где \(E_1 = \dfrac{kq}{x^2}\). Горизонтальные составляющие трёх полей взаимно уничтожаются. Поэтому \[E = 3\,\frac{kq}{x^2}\cdot\frac{h}{x}, \qquad \frac{h}{x} = \sqrt{\frac{11}{27}}.\] Подставляя \(x^2 = \dfrac{9}{16}a^2\), получаем \(E = \dfrac{16\sqrt{33}}{27}\,\dfrac{kq}{a^2} \approx 3{,}06\cdot10^{10}\,\dfrac{q}{a^2}\) (в СИ).