Колебания площадки с прилипшим шариком

Пружины, закреплённые на площадке с обеих сторон, работают параллельно: их жёсткости складываются. Амплитуду найдите из закона сохранения энергии в момент, когда площадка с шариком на мгновение останавливается.

Жёсткость системы \(k = k_1 + k_2\), циклическая частота \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\) (масса — только масса шарика, так как площадка и пружины невесомы).

Удар неупругий, но площадка невесома, поэтому скорость системы сразу после удара равна скорости шарика. Пусть наибольшее смещение площадки вниз после удара равно \(x\). В этом положении скорость равна нулю, и \[mg(H + x) = \frac{k x^2}{2}.\] Корни: \(x_{1,2} = \dfrac{mg}{k} \pm \sqrt{\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2 + \dfrac{2mgH}{k}}\). Их полусумма \(\dfrac{mg}{k}\) — новое положение равновесия, полуразность — амплитуда колебаний: \[A = \sqrt{\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2 + \dfrac{2mgH}{k}}.\] Отсюда уравнение колебаний (время отсчитывается от момента прохождения положения равновесия): \[x(t) = \frac{mg}{k} + A\sin\!\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\,t\right).\]