Взаимодействие скрещенных заряженных нитей

Разбейте одну из нитей и заряженную плоскость на полоски и сложите силы взаимодействия. Подумайте, зависит ли результат от расстояния \(r\).

Рассмотрим вспомогательную задачу. Найдём силу взаимодействия очень длинной нити с линейной плотностью заряда \(\lambda\) и очень большой плоскости с поверхностной плотностью заряда \(\sigma\). С одной стороны (поскольку сила взаимодействия плоскости с поверхностной плотностью \(\sigma\) и точечного заряда \(q\) есть \(\sigma q/2\varepsilon_0\)), эта сила равна \[F = \frac{\sigma\lambda l}{2\varepsilon_0},\] где \(l\) — длина нити. С другой стороны, если мысленно разбить плоскость на длинные полоски толщиной \(\Delta x_1, \Delta x_2, \dots\), перпендикулярные нити (см. рисунок), то эта же сила складывается из сил взаимодействия с каждой полоской: \[F = \Delta F_1 + \Delta F_2 + \Delta F_3 + \dots\] Причём в этой формуле суммируются не векторы, а модули, поскольку силы взаимодействия нити с каждой полоской направлены одинаково (отталкивание от полосок). А поскольку полоски и нить — очень-очень большие, то все полоски по отношению к нити расположены одинаково, и, следовательно, силы взаимодействия с разными полосками \(\Delta F_1, \Delta F_2, \dots\) могут отличаться только из-за разных зарядов полосок. А поскольку их заряды пропорциональны их толщине (при условии, что полоски — тонкие), то все эти силы можно записать как \[\Delta F_i = f_0\,\Delta x_i,\] где величина \(f_0\) одинакова для каждой полоски. Подставляя это выражение в формулу для силы взаимодействия и используя первое выражение для неё, найдём \[\frac{\sigma\lambda l}{2\varepsilon_0} = f_0\,(\Delta x_1 + \Delta x_2 + \dots) = f_0\,l.\] Отсюда \[f_0 = \frac{\sigma\lambda}{2\varepsilon_0}.\] Поэтому сила взаимодействия нити с линейной плотностью заряда \(\lambda\) с полоской толщиной \(\Delta x\) равна \[\Delta F = \frac{\lambda\sigma\,\Delta x}{2\varepsilon_0}.\] Но поскольку полоска тонкая, а \(\sigma\Delta x\) есть заряд единицы длины полоски, то линейная плотность заряда полоски есть \(\lambda_1 = \sigma\Delta x\). Поэтому эта формула даёт силу взаимодействия двух перпендикулярных нитей, равномерно заряженных с линейными плотностями \(\lambda\) и \(\lambda_1\): \[F = \frac{\lambda\lambda_1}{2\varepsilon_0}.\] Поскольку в рассматриваемой задаче \(\lambda_1 = 2\lambda\), получаем окончательно \[F = \frac{2\lambda^2}{2\varepsilon_0}.\] От расстояния между нитями эта сила не зависит.