Тело в тележке с упругими бортиками

Покажите, что относительная скорость тела и тележки после каждого упругого столкновения по величине не меняется. Затем используйте закон сохранения импульса для системы «тележка–тело».

Докажем, что при лобовом упругом столкновении тел их относительная скорость не меняется по величине, а меняет только направление. Пусть одно тело массой \(m\) движется со скоростью \(v\), второе массой \(M\) покоится (относительная скорость первого тела относительно второго равна \(v_{отн} = v\) и направлена вправо; см. рисунок). Скорости тел после центрального упругого столкновения можно найти по законам сохранения импульса и энергии (пусть для определённости \(m < M\), тогда скорость первого тела направлена противоположно скорости \(\vec v\)): \[mv = -mv_1 + Mv_2, \qquad mv^2 = mv_1^2 + Mv_2^2.\] Отсюда находим скорости тел после столкновения \[v_1 = \frac{M - m}{M + m}\,v, \qquad v_2 = \frac{2m}{M + m}\,v\] и относительную скорость первого тела относительно второго \[v_{отн} = v_1 - v_2 = v.\] Отсюда с учётом того, что \(v_1\) поменяла направление, заключаем, что относительная скорость такая же по величине, но направлена противоположно. При следующем столкновении с бортиками тележки такая же картина сохранится.

Теперь вернёмся к решению задачи. Поскольку система тел «тележка–тело» замкнута, центр масс тела и тележки движется с постоянной скоростью \[v_0 = \frac{mv}{m + M}.\] В начале (поскольку тело находится в центре тележки) центр масс системы находится в центре тележки. В конце (поскольку тело снова в центре) там же находится и центр масс. Поэтому перемещение тележки равно перемещению центра масс системы за то время, за которое тело совершило 2020 столкновений с бортиками. То есть \[S_m = \frac{mv}{m + M}\,t,\] где \(t\) — время, прошедшее от толчка тела до того, как оно вернулось в ту же точку, испытав 2020 столкновений с бортиками. Найдём это время. От 1-го столкновения до 2020-го тело пройдёт 2019 длин тележки с одной и той же относительной скоростью. Поэтому на это затратится время \(\dfrac{2019\,L}{v}\) и ещё два раза по половине тележки — после начального толчка до первого удара и от 2020-го удара до попадания в центр тележки. В результате находим, что \[t = \frac{2020\,L}{v}.\] Отсюда получаем окончательно \[S_m = \frac{2020\,mL}{m + M}.\]