Процесс V ∝ T^(5/2)

Запишите первый закон термодинамики для малого изменения состояния, выразив работу через давление и изменение объёма. Давление найдите из уравнения состояния.

Пусть газ получает в рассматриваемом процессе малое количество теплоты \(\delta Q\), а изменение температуры газа составило \(\Delta T\) (обе эти величины являются алгебраическими, могут быть как положительными, так и отрицательными). Первый закон термодинамики для рассматриваемого процесса даёт \[\delta Q = \Delta U + \delta A.\] Поскольку в рассматриваемом процессе давление практически не изменилось, работу газа можно найти как \(\delta A = p\,\Delta V\), где \(\Delta V\) — изменение объёма в рассматриваемом процессе, \(p\) — давление в рассматриваемом состоянии. Поэтому \[\delta Q = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T + p\,\Delta V.\] Изменение объёма газа \(\Delta V\) можно найти из зависимости \(V(T)\), давление газа \(p\) — из закона Клапейрона–Менделеева: \[\Delta V = \frac{dV}{dT}\,\Delta T = -\frac{5}{2}\,\alpha\,T^{-(7/2)}\,\Delta T, \qquad p = \frac{\nu R T}{V}.\] Поэтому получаем связь количества теплоты и изменения температуры в рассматриваемом процессе: \[\delta Q = -\nu R\,\Delta T.\] И, следовательно, молярная теплоёмкость \[C = \frac{\delta Q}{\nu\,\Delta T} = -R\] (от \(\alpha\) молярная теплоёмкость не зависит). Теплоёмкость газа оказалась отрицательной, что означает, что процесс лежит «между» изотермой и адиабатой. Если объём газа возрастает, то, как следует из связи давления и температуры, температура газа уменьшается, \(\Delta T < 0\), и, следовательно, газ получает теплоту.