Задачи › Импульс, закон сохранения импульса

Шайба на горке

  1. Шайба на горке

    ЕГЭ 2016, 11 кл.
    3/10

    На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых \(h\) и \(\dfrac{5}{2}h\) (см. рисунок). На правой вершине горки находится шайба. От незначительного толчка шайба и горка приходят в движение, причём шайба движется влево, не отрываясь от гладкой поверхности горки, а поступательно движущаяся горка не отрывается от стола. Скорость шайбы на левой вершине горки оказалась равной \(v\). Найдите отношение масс шайбы и горки.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Горизонтальная составляющая импульса системы сохраняется; механическая энергия системы тоже сохраняется.

    Ответ

    \(\dfrac{m}{M} = \dfrac{3gh}{v^2} - 1\)

    Решение

    На систему тел «шайба + горка» действуют внешние силы (тяжести и реакции стола), направленные по вертикали, поэтому проекция импульса системы на горизонтальную ось \(Ox\) системы отсчёта, связанной со столом, сохраняется.

    В начальный момент \(p_x(0) = 0\), а в момент \(t_1\) \(p_x(t_1) = Mu - mv\). Из закона сохранения импульса \(p_x(0) = p_x(t_1)\) получим: \(Mu - mv = 0\), где \(m\) — масса шайбы, \(M\) — масса горки.

    Работа сил тяжести определяется изменением потенциальной энергии, а суммарная работа сил реакции равна нулю, так как поверхности гладкие.

    Следовательно, полная механическая энергия системы тел, равная сумме кинетической и потенциальной, сохраняется. Так как потенциальная энергия горки не изменилась, получаем уравнение \[\frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2} + mgh = \frac{5}{2}mgh.\]

    Решение системы даёт отношение масс \(\dfrac{m}{M} = \dfrac{3gh}{v^2} - 1\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх