Задачи › Энергия поля, электрическое давление

Тонкая заряженная сфера и давление на стенку

  1. Тонкая заряженная сфера и давление на стенку

    Физтех 2025/26, 10 кл.
    6/10

    Тонкостенная заряженная металлическая сфера радиуса \(R = 10\text{ см}\) с толщиной стенки \(d = 0{,}2\text{ см}\) находится внутри заземлённой проводящей сферы радиуса \(2R\). Центры сфер совпадают. Потенциал сферы радиуса \(R\) равен \(\varphi_0 = 9\text{ В}\).

    1. Найдите заряд \(Q\) сферы радиуса \(R\). Коэффициент пропорциональности в законе Кулона \(k = 9\cdot 10^9\text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2\).

    2. Заземлённую сферу удаляют. Рассмотрим заряд, находящийся на любой элементарной площадке \(\Delta S\) (\(\Delta S \ll R^2\)) сферы радиуса \(R\). Выведите формулу для модуля \(\Delta F\) силы, с которой остальные заряды сферы действуют на заряд рассматриваемой элементарной площадки \(\Delta S\).

    3. Вычислите модуль \(F\) суммы таких сил, действующих на заряды всех элементарных площадок любой половины сферы радиуса \(R\).

    4. До какого максимального заряда \(Q_{\text{MAX}}\) можно зарядить сферу радиуса \(R\), если предельная прочность на разрыв материала, из которого сделана сфера, равна \(\sigma_{\text{ПРЕД}} = 2\cdot 10^9\text{ Па}\)?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поверхностная плотность заряда \(\sigma = Q/(4\pi R^2)\). Сила, действующая на элемент поверхности со стороны остальных зарядов, равна половине поля, создаваемого самим элементом, умноженной на заряд элемента. Для разрыва по большому кругу сумма сил давления уравновешивается растяжением стенки.

    Ответ

    1) \(Q = 2\cdot 10^{-10}\text{ Кл}\);  2) \(\Delta F = \dfrac{\sigma^2\,\Delta S}{2\varepsilon_0} = \dfrac{kQ^2\,\Delta S}{8\pi R^4}\);  3) \(F = \dfrac{kQ^2}{8R^2} \approx 4{,}5\cdot 10^{-9}\text{ Н}\);  4) \(Q_{\text{MAX}} \approx 4{,}7\cdot 10^{-3}\text{ Кл}\).

    Решение

    Потенциал сферы \(\varphi_0 = kQ\left(\dfrac1R - \dfrac1{2R}\right) = \dfrac{kQ}{2R}\) при заземлённой внешней сфере, откуда \(Q = \dfrac{2R\varphi_0}{k} = 2\cdot 10^{-10}\text{ Кл}\).

    Поле вблизи элемента \(\Delta S\) складывается из собственного поля элемента \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) и поля остальных зарядов, которое равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)\) (принцип суперпозиции). Поэтому сила на элемент \(\Delta F = \sigma\Delta S\cdot\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\), а с учётом \(\sigma = Q/(4\pi R^2)\) и \(1/\varepsilon_0 = 4\pi k\) получаем \(\Delta F = \dfrac{kQ^2\Delta S}{8\pi R^4}\).

    Силы давления направлены радиально; сумма их проекций на ось, перпендикулярную плоскости разреза, равна сумме сил на «дно» полусферы: \(F = \dfrac{kQ^2}{8R^2} \approx 4{,}5\cdot 10^{-9}\text{ Н}\).

    При разрыве по периметру большого круга \(2\pi R\) сумма сил давления уравновешивается упругими силами стенки \(\sigma_{\text{ПРЕД}}\cdot 2\pi R d\). Отсюда \[Q_{\text{MAX}} = \sqrt{\frac{16\pi\,\sigma_{\text{ПРЕД}}\,R^3 d}{k}} \approx 4{,}7\cdot 10^{-3}\text{ Кл}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх