Задачи › Динамика качения

Труба на наклонной плоскости и нить

  1. Труба на наклонной плоскости и нить

    Физтех 2025/26, 10 кл.
    6/10

    Однородная тонкостенная труба массой \(m = 2{,}4\text{ кг}\) удерживается на шероховатой наклонной плоскости клина лёгкой горизонтальной нитью, прикреплённой к трубе (см. рис.). Наклонная плоскость образует с горизонтальной плоскостью угол \(\alpha\) такой, что \(\sin\alpha = 0{,}6\).

    Рисунок

    1. Найдите модуль \(T\) силы натяжения нити. Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\). Ось трубы параллельна горизонтальной плоскости. Нить обрывается. Труба катится по наклонной плоскости без проскальзывания с нулевой начальной скоростью, клин покоится.

    2. Найдите горизонтальное перемещение \(S\) оси трубы за первую секунду движения трубы по клину.

    3. С какой по модулю горизонтальной силой \(f_{ТР}\) трения клин действует на горизонтальную плоскость?

    4. При каком угле \(\alpha\) модуль \(f_{ТР}\) горизонтальной силы трения наибольший?

    5. Найдите этот наибольший модуль \(\tilde f_{ТР}\) силы трения.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Для трубы, катящейся без проскальзывания, кинетическая энергия равна \(mV^2\), а ускорение центра масс равно \(\tfrac12 g\sin\alpha\). Горизонтальная сила трения на клин равна \(ma\cos\alpha\).

    Ответ

    1) \(T = 8\text{ Н}\);  2) \(S = 1{,}2\text{ м}\);  3) \(f_{ТР} = 5{,}76\text{ Н}\);  4) \(\alpha = 45^\circ\);  5) \(\tilde f_{ТР} = 6\text{ Н}\).

    Решение

    Моменты сил относительно точки касания трубы с плоскостью: \(T R(1 + \cos\alpha) = mgR\sin\alpha\), откуда \(T = \dfrac{mg\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = 8\text{ Н}\).

    Кинетическая энергия катящейся без проскальзывания трубы равна \(mV^2\), поэтому ускорение центра масс \(a = \tfrac12 g\sin\alpha = 3\text{ м/с}^2\). За первую секунду ось проходит вдоль наклонной плоскости путь \(at^2/2 = 1{,}5\text{ м}\), а горизонтальное перемещение \(S = 1{,}5\cos\alpha = 1{,}2\text{ м}\).

    Горизонтальная сила, с которой труба действует на клин, равна \(ma\cos\alpha\), и с такой же по модулю силой клин действует на горизонтальную плоскость: \(f_{ТР} = ma\cos\alpha = 5{,}76\text{ Н}\).

    В общем случае \(f_{ТР} = \dfrac{mg}{4}\sin 2\alpha\), наибольшее значение \(\tilde f_{ТР} = \dfrac{mg}{4} = 6\text{ Н}\) достигается при \(\alpha = 45^\circ\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх