Форма для выпечки

Вложив формы друг в друга, удваиваем массу, не меняя эффективной площади; на установившейся скорости сила тяжести равна силе сопротивления, а скорости сравниваются по временам падения с одной высоты.

\(\alpha\approx2\).

Вкладывая формы для маффинов друг в друга, мы можем увеличить их массу, оставляя эффективную площадь прежней. Во время падения на форму для маффинов действуют сила тяжести \(mg\) и сила сопротивления \(Cv^{\alpha}\), где \(v\) — скорость маффина. Так как масса формы мала по сравнению с её эффективной площадью, форма достигает своей конечной скорости при падении практически мгновенно. Получаем уравнение \(mg=cv_1^{\alpha}\). Отметим высоту, с которой мы начинаем ронять формы, и измерим время падения. Так же поступим и с вложенными друг в друга формами. В этом случае получаем \(2mg=cv_2^{\alpha}\). Разделив второе уравнение на первое, получаем \(\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)^{\alpha}=2\). Выразим \(\alpha\): \(\alpha=\dfrac{\ln 2}{\ln\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}\), где \(v_2\) — скорость падения двух форм вместе, а \(v_1\) — скорость падения одной формы. Если мы оба раза отпускаем формы с одной и той же высоты, то, предполагая, что формы достигают конечной скорости мгновенно и движутся равномерно, получаем \(\alpha=\dfrac{\ln 2}{\ln\left(\frac{t_1}{t_2}\right)}\), где \(t_1\) — время падения одной формы, а \(t_2\) — время падения двух форм вместе. Следовательно, \(\alpha=\dfrac{\ln 2}{\ln\left(\frac{t_1}{t_2}\right)}\). Численно \(\alpha\approx2\). Погрешность времени оценим в обоих случаях, например, как \(\Delta t=0{,}15\) с. В таком случае неопределённость можно оценить, например, методом максимума — минимума: \(\Delta\alpha=\dfrac{\alpha_{\max}-\alpha_{\min}}{2}\), где \(\alpha_{\max}=\dfrac{\ln 2}{\ln\left(\frac{t_1-\Delta t}{t_2+\Delta t}\right)}\) и \(\alpha_{\min}=\dfrac{\ln 2}{\ln\left(\frac{t_1+\Delta t}{t_2-\Delta t}\right)}\), где \(t_1\) и \(t_2\) — соответственно средние времена падения одной и двух вложенных форм.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.