Стереопотенциометр

Измеряемое сопротивление имеет единственный максимум по углу поворота, и по симметрии он достигается, когда движки делят сопротивления пополам; найдите, во сколько раз оно тогда меньше сопротивления одного потенциометра.

Сопротивление одного потенциометра в 5 раз больше максимального измеренного сопротивления: \(R=5R_{\max}\) (реалистично — примерно \(370\ldots550\) кОм).

Плотно намотаем концы проводов исследуемого устройства вокруг проводов омметра. Измерим сопротивление между концами проводов и покрутим кнопку. На показании омметра в зависимости от угла поворота кнопки есть только один максимум. Что это так, выясним либо экспериментально (что проще), либо расчётом.

В расчётном подходе выразим положение движка параметром \(\alpha\) (который зависит от угла поворота кнопки нелинейно, но это и не важно) так, что оба потенциометра можно рассматривать как соединение — последовательное соединение сопротивлений \(\alpha R\) и \((1-\alpha)R\). Тогда общее сопротивление устройства вычисляется по приведённой справа эквивалентной схеме: \[R_{\text{устр}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{\alpha R+(1-\alpha)R}+\cfrac{1}{\alpha R}+\cfrac{1}{(1-\alpha)R}}=R\left(1-\frac{1}{\alpha(1-\alpha)+1}\right).\]

Величина \(\dfrac{1}{\alpha(1-\alpha)+1}\) — обратная к положительной квадратичной функции, у которой, разумеется, только один минимум. Заметим ещё, что выражение симметрично относительно замены \(\alpha\) на \((1-\alpha)\), поэтому максимум измеряемого сопротивления находится как раз там, где \(\alpha=\tfrac12\), то есть движок делит сопротивление потенциометра пополам.

Убедившись, что максимум только один, можно было бы сделать тот же вывод, что он находится там, где движки делят пополам сопротивления потенциометров, и непосредственно исходя из симметрии схемы: при повороте схемы на \(180^\circ\) измеряемое сопротивление должно остаться тем же, и максимум при этом повороте должен переходить сам в себя. В такой симметричной ситуации у нас получается приведённая справа эквивалентная схема, сопротивление которой (аналогично вычислению выше) равно \(R/5\).

Итак, для получения ответа нужно измерить наибольшее возможное сопротивление и умножить его на пять. Разброс показаний тестера при измерении фиксированного сопротивления минимален, поэтому от повторных измерений польза лишь постольку, поскольку они помогают найти бо́льшее максимальное значение. Усреднять их результаты в данном опыте неправильно, так как мы знаем, что (при правильной методике измерения) нельзя случайно измерить сопротивление, большее истинного. Однако надо быть внимательным, чтобы не включить самого себя в электрическую цепь: сопротивление между руками может быть одного порядка с измеряемым или даже во много раз меньше! Реалистичный ответ в зависимости от конкретного экземпляра устройства — примерно \(370\ldots550\) кОм (номинальное значение потенциометра было \(470\ \text{кОм}\pm20\,\%\); отклонения добавил тот факт, что предположение о том, что потенциометры в паре одинаковы, на самом деле не было точным).

В качестве оценки погрешности основной является неопределённость самого омметра в используемом диапазоне измерений. Если бы для поиска максимума имелся строго задокументированный и машинно выполняемый алгоритм, то по его промежуточным результатам можно было бы оценить и то, насколько точно кнопка была повёрнута к максимальному сопротивлению, и тем самым найти дополнительно статистическую неопределённость и (не усредняя!) более точную оценку истинного максимума, но одними только имеющимися средствами этого сделать нельзя.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.