Капилляр и клин

В капилляре решает баланс сил поверхностного натяжения и веса столба жидкости: как меняются обе величины при смене жидкости? В клине важна кривизна поверхности в поперечном сечении, а не вдоль клина.

Вопрос. Высоту подъёма жидкости в капилляре можно найти из условия равновесия столба жидкости. Для капилляра сечения круга радиуса \(r\): \[\sigma\cdot 2\pi r\cos\theta = mg = \rho\pi r^2 h g \;\Rightarrow\; h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}.\] В первом случае \(\theta \approx 0\), и \(h = \dfrac{2\sigma}{\rho g r}\). Во втором \(\theta \approx \pi\), и теперь \[h' = -\frac{8\sigma}{8\rho g r} = -\frac{h}{2}.\] Таким образом, во втором резервуаре уровень жидкости в капилляре будет на 2 мм ниже, чем в остальной части резервуара.

Задача. Пусть \(y(x)\) — профиль «средней линии» поверхности жидкости в клиновидном промежутке между пластинами. Так как угол при вершине клина мал, то радиус кривизны этой линии на расстоянии \(x\) от ребра двугранного угла значительно больше радиуса кривизны в поперечном сечении, который примерно равен половине расстояния между пластинами (угол смачивания считаем равным нулю, и в соответствии с условием в этом сечении профиль поверхности жидкости — полуокружность): \(r_\perp \approx x\operatorname{tg}(\alpha/2) \approx \alpha x/2\). Следовательно, лапласовское давление \[p_{\text{л}}(x) = -\rho g\, y(x) = -\sigma\left[\frac{1}{r_\perp}+\frac{1}{r_\parallel}\right] \approx -\frac{\sigma}{r_\perp} \approx -\frac{2\sigma}{\alpha x} \;\Rightarrow\; y(x) \approx \frac{2\sigma}{\alpha\rho g}\cdot\frac{1}{x}.\] Таким образом, средняя линия поверхности жидкости в узком клиновидном зазоре близка к гиперболе. Важно понимать, что использованное приближение \(r_\perp \ll r_\parallel\) означает, что полученная формула справедлива при \(y \ll x\), то есть при \(x \gg \sqrt{\dfrac{2\sigma}{\alpha\rho g}}\).