Колесо и стержень

Для колеса работа силы трения о стержень забирает всю его кинетическую энергию. Что меняется при смене направления вращения, а что остаётся прежним?

Вопрос. При скатывании без проскальзывания работа силы трения равна нулю, и убыль потенциальной энергии цилиндра в поле тяжести равна его приобретённой кинетической энергии. По теореме Кёнига кинетическая энергия цилиндра складывается из энергий поступательного и вращательного движений. В отсутствие проскальзывания \(v = \omega R\), момент инерции однородного цилиндра \(I = \dfrac{1}{2}mR^2\). Следовательно, \[mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2} = \frac{3}{4}mv^2 \;\Rightarrow\; v = 2\sqrt{\frac{gH}{3}}.\]

Задача. Вращение колеса тормозится силой трения со стороны стержня. Сам стержень при этом находится в равновесии под действием силы тяжести, силы реакции шарнира, силы нормальной реакции колеса и «ответной» силы трения. Последняя до самой остановки является силой трения скольжения, и её величина равна \(\mu N\). Обозначим длину стержня \(L\); для первого опыта запишем условие равновесия моментов сил относительно оси шарнира: \[mg\frac{L}{2}\sin\alpha - NL\sin\alpha - \mu NL\cos\alpha = 0 \;\Rightarrow\; F_{\text{тр}} = \frac{\mu mg}{2}\cdot\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha+\mu}.\] Колесо остановится, когда работа этой силы заберёт у колеса всю его кинетическую энергию, то есть \[F_{\text{тр}}\cdot 2\pi R\cdot n_1 = \frac{I}{2}\omega_0^2 \;\Rightarrow\; n_1 = \frac{I\omega_0^2}{2\pi\mu mgR}\cdot\frac{\operatorname{tg}\alpha+\mu}{\operatorname{tg}\alpha}.\] Здесь \(I\) — момент инерции колеса относительно оси симметрии. Во втором опыте (при изменении направления начального вращения) направления сил трения между колесом и стержнем изменяются на противоположные, и в этих уравнениях меняется только знак слагаемого с \(\mu\). Поэтому \[n_2 = \frac{I\omega_0^2}{2\pi\mu mgR}\cdot\frac{\operatorname{tg}\alpha-\mu}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha-\mu}{\operatorname{tg}\alpha+\mu}\,n_1 = 35.\]