Заслонка с конденсатором

Выпишите уравнение для тока через заслонку с учётом ЭДС движения и силы Ампера. Если ток постоянен, какие члены уравнения должны обращаться в ноль при любом \(t\)?

Вопрос. С учётом симметрии системы в квазистационарном приближении кольцо можно рассматривать как контур, в котором ЭДС в каждой из двух его частей (по разные стороны от вольтметра) пропорциональна длине соответствующего участка кольца. Сила тока в этом контуре равна полной ЭДС, делённой на полное сопротивление. Поскольку сопротивление каждого из участков тоже пропорционально их длинам, то в соответствии с законом Ома для участка цепи с ЭДС \[U = \mathcal E_1 - I r_1 = \mathcal E_1 - \frac{\mathcal E}{r}\,r_1 = 0.\] Итак, вольтметр покажет нулевое напряжение.

Задача. При замкнутом ключе и движении заслонки будет изменяться площадь контура, содержащего конденсатор и заслонку, что приведёт к изменению магнитного потока и появлению в контуре ЭДС индукции \[\mathcal E_i = -\frac{d\Phi}{dt} = -Bl\frac{dx}{dt} = -Blv.\] Здесь ось \(x\) направлена вниз, а \(v\) — скорость падения заслонки. Будем далее считать «положительным» заряд \(q\) конденсатора, создаваемый индукционным током. Тогда ток зарядки конденсатора \[I = \frac{dq}{dt} = \frac{\mathcal E_i - U_C}{R} = \frac{Blv}{R} - \frac{q}{CR}\] (ясно, что в отсутствие ЭДС индукции заряженный конденсатор будет разряжаться). Как видно из условия, сопротивление контура можно считать равным сопротивлению заслонки \(R \approx \rho\dfrac{l}{ld} = \dfrac{\rho}{d}\). Поэтому \[\frac{dq}{dt} = \frac{Bld}{\rho}\,v - \frac{d}{\rho C}\,q.\] Исходя из правила Ленца, сила Ампера, действующая на индукционные токи, текущие через заслонку, должна тормозить её движение. Кроме того, малость сопротивления направляющих позволяет считать, что ток \(I\) распределён в заслонке равномерно по высоте, и \(F_{A} = -IBl\). Уравнение движения заслонки \(m\dfrac{dv}{dt} = mg - IBl\) с учётом того, что её масса \(m = \tau l^2 d\), приводится к виду \[\frac{dv}{dt} = g - \frac{B}{\tau l d}\,\frac{dq}{dt}.\] Согласно условию, от самого начала движения заслонка (которая до этого покоилась) движется с постоянным ускорением, и из этого уравнения находим, что \[\frac{dv}{dt} = g - \frac{B}{\tau l d}\,I = \frac{g}{2},\] то есть \(v(t) = \dfrac{g}{2}t\). Соответствующий закон движения заслонки \(x(t) = \dfrac{g}{4}t^2\). Кроме того, по значению силы тока \(q(t) = q_0 + It = q_0 + \dfrac{\tau l d g}{2B}\,t\). При подстановке законов изменения скорости заслонки и заряда конденсатора в уравнение для силы тока в цепи должно получаться тождество, то есть для любого момента времени \[\frac{\tau l d g}{2B} = \frac{Bldg}{2\rho}\,t - \frac{d}{\rho C}\left(q_0 + \frac{\tau l d g}{2B}\,t\right).\] Приравнивая коэффициенты при нулевой и первой степени \(t\), получаем \[C = \frac{\tau d}{B^2}, \qquad q_0 = -\frac{\rho\tau^2 l d g}{2B^3}.\] Как видно, необходимым условием существования указанного режима движения заслонки является наличие у конденсатора начального заряда \(q_0\), который должен быть противоположен по знаку тому, что создаёт индукционный ток. Отметим, что нахождение этого заряда не было необходимым для получения ответа, однако его нахождение фактически является проверкой корректности условия. Кроме того, мы находим связь ёмкости конденсатора с другими параметрами системы: \(C = \dfrac{\tau d}{B^2}\).