Задачи › Давление жидкости

Фигура из сообщающихся сосудов

  1. Фигура из сообщающихся сосудов

    «Ломоносов» 2024/25, заключительный этап, 7–9 кл. · №25514
    3/10PDF: условиес решением

    Школьник напечатал фигуру сложной формы на 3D принтере из прозрачного пластика (см. рис.). Она состоит из трёх полых сосудов с тонкими стенками, соединённых полыми трубками. По данным трубкам жидкость может свободно циркулировать из сосуда в сосуд. Сосуды 1 и 3 сверху открыты. Фигуру школьник заполнил двумя несмешивающимися жидкостями следующим образом. Сосуды 3 и 2 полностью, соединительные трубки, а также часть сосуда 1 (от нижнего края фигуры до уровня \(a\)) заполнены глицерином. Оставшаяся часть сосуда 1 (от уровня \(a\) до уровня \(H\)) заполнена водой с плотностью \(\rho_1=1000\) кг/м\(^3\) до верха. При этом система оказалась устойчивой: ни вода, ни глицерин не вытекали сверху из сосудов. Найдите высоту уровня \(a\), если плотность глицерина \(\rho_2=1260\) кг/м\(^3\), высоты сосудов: \(h=114\) мм, \(H=140\) мм. Ответ выразите в миллиметрах.

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Сравните давления жидкости у дна сосуда 2 и у дна сосуда 1: сосуды сообщающиеся, на уровне дна давления равны.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(a=\dfrac{\rho_2h-\rho_1H}{\rho_2-\rho_1}=14\) мм.

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Давление жидкости вблизи дна сосуда 2: \(P_2=\rho_2gh\). Давление жидкости вблизи дна сосуда 1 складывается из давления столба глицерина и столба воды: \[P_1=\rho_2ga+\rho_1g(H-a),\] где \(\rho_1\) — плотность воды. Сосуды являются сообщающимися, следовательно на уровне дна давления должны быть равны: \(P_1=P_2\), то есть \[\rho_2gh=\rho_2ga+\rho_1g(H-a).\] Решая это уравнение, получаем выражение для высоты уровня \(a\): \[a=\frac{\rho_2h-\rho_1H}{\rho_2-\rho_1}.\] Подставляя известные числовые значения, получаем: \[a=\frac{1260\cdot114\cdot10^{-3}-1000\cdot140\cdot10^{-3}}{1260-1000}=14\cdot10^{-3}~\text{м}=14~\text{мм}.\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх