Бусинки на изогнутом стержне

Найдите скорость бусинки \(4m\) перед ударом и скорость слипшихся бусинок сразу после удара. Давление на стержень равно нулю при нулевой реакции опоры; минимальной высоте отвечает нулевая скорость в этот момент, и вся кинетическая энергия ушла в энергию пружины.

\(H=\dfrac{125}{32}\dfrac{k}{mg}\Bigl(\dfrac{mgL}{kL-5mg}\Bigr)^2\approx16\) см.

Согласно закону сохранения полной механической энергии \[4mgH=\frac{4mV_1^2}{2}\quad\Rightarrow\quad V_1=\sqrt{2gH},\] где \(V_1\) — скорость бусинки \(4m\) непосредственно перед ударом о бусинку \(m\). При абсолютно неупругом соударении бусинок выполняется закон сохранения импульса: \[4mV_1=(m+4m)V_2\quad\Rightarrow\quad V_2=\frac{4}{5}V_1=\frac{4}{5}\sqrt{2gH}.\] Здесь \(V_2\) — скорость бусинок сразу после соударения.

В процессе движения по горизонтальному участку стержня на бусинки действуют сила тяжести \(5mg\), сила упругости пружины \(T\) и сила реакции опоры \(N\), которая согласно третьему закону Ньютона равна по модулю силе давления \(P\) бусинок на стержень. Таким образом, равенство нулю силы \(P\) достигается при \(N=0\). В этом случае, согласно второму закону Ньютона, имеем равенство: \[T\cos\alpha=5mg,\qquad(1)\] где \[T=k\Delta l,\qquad(2)\] \[\cos\alpha=\frac{L}{L+\Delta l}.\qquad(3)\] Условие минимальности высоты \(H\) приводит к требованию равенства нулю скорости \(V_3\) в момент достижения силой \(P\) нулевого значения. Тогда из закона сохранения энергии получаем соотношение: \[\frac{5mV_2^2}{2}=\frac{k\Delta l^2}{2}+\frac{5mV_3^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \Delta l=\sqrt{\frac{5m}{k}\bigl(V_2^2-V_3^2\bigr)}=\sqrt{\frac{5m}{k}}\,V_2=4\sqrt{\frac{2gHm}{5k}}.\qquad(4)\] Решая систему уравнений (1)–(4), получаем окончательно: \[H=\frac{125}{32}\,\frac{k}{mg}\Bigl(\frac{mgL}{kL-5mg}\Bigr)^2=\frac{125}{32}\,\frac{10}{0{,}01\cdot10}\Bigl(\frac{0{,}01\cdot10\cdot0{,}1}{10\cdot0{,}1-5\cdot0{,}01\cdot10}\Bigr)^2\approx16~\text{см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.