Плотность поплавка на рычаге

Найдите объём поплавка и объём его погружённой части по рисунку. Условия равновесия для поплавка и груза дают силы натяжения нитей, затем запишите равенство моментов относительно оси.

\(\rho_m=\dfrac{l_2m+l_1\rho V_{\text{п}}}{l_1V}=850\) кг/м\(^3\).

Согласно рисунку общий объём поплавка равен \[V=10\cdot10\cdot3a^3+\frac{1}{2}\cdot10\cdot2\cdot10a^3=400a^3=400\cdot10^{-6}~\text{м}^3.\] Объём погружённой в воду части поплавка согласно аналогичным расчётам с использованием рисунка составляет \(V_{\text{п}}=200a^3=200\cdot10^{-6}\) м\(^3\).

Масса поплавка \(M=\rho_mV\), где \(\rho_m\) — его плотность. На поплавок действует направленная вертикально вверх сила Архимеда, равная \(F_A=\rho V_{\text{п}}g\), где \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения. Модули сил натяжения нитей попарно равны: \(T_1=T_2\) и \(T_3=T_4\).

Запишем второй закон Ньютона для поплавка в проекции на вертикальную ось: \(0=T_1+F_A-Mg\). Отсюда получаем, что \(T_1=\rho_mVg-\rho gV_{\text{п}}\). Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось: \(0=T_3-mg\). Отсюда \(T_3=mg\). Момент силы, вращающей рычаг против часовой стрелки, равен \[M_1=T_2l_1=l_1g(\rho_mV-\rho V_{\text{п}}).\] Момент силы, вращающей рычаг по часовой стрелке, равен \(M_2=T_4l_2=l_2mg\). Условие равновесия: \(M_1=M_2\). Решая последнее уравнение с учётом выражений, записанных ранее, получим, что искомая плотность поплавка будет равна: \[\rho_m=\frac{l_2m+l_1\rho V_{\text{п}}}{l_1V}.\] Подставляя известные числовые значения, получим: \[\rho_m=\frac{0{,}1\cdot0{,}7+0{,}5\cdot1000\cdot200\cdot10^{-6}}{0{,}5\cdot400\cdot10^{-6}}=850~\text{кг/м}^3.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.